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(u , v) della rigata, forma col piano tangente nel punto centrale (0 , v) , ciò 

 che si fa colla formola di Chasles 



Mu 



tang sì = . 



& sen 6 



Di qui si ha 



sen 0 

 u = - tang £ 



M cos 6 . 6' — M f sen 6 sen 6 1 



^ = W g M cos 2 fi dv ' 



e sostituendo nella (3) e moltiplicando per cos 2 #, si ha l'equazione diffe- 

 renziale delle asintotiche curvilinee sotto la forma cercata: 



(4) 2 sen 2 6 ^ + S -~- (M cos 8.6' — M' sen 0) sen cos £ + 



-f 0>(v) sen 2 6 -f- M sen 0 cos 0 cos 2 £ = 0 . 



Ora, affinchè la rigata R goda della proprietà enunciata nel teorema, 

 occorre e basta che, detta fi x una soluzione particolare della (4), la solu- 

 zione generale sia 



fi = i>! -+- cost , 



per la qual cosa i coefficienti della equazione differenziale (4) non dovranno 

 contenere fi . Le condizioni necessarie e sufficienti si traducono dunque nelle 

 due relazioni 



M cos B . 6' — M' sen 0 = 0 , M sen 0 cos 0 = 0 , 

 e queste, escludendo il caso delle sviluppabili, danno 



e = , M = cost , 



valori che caratterizzano appunto le superficie delle binormali delle curve 

 a torsione costante ^ . 



Il teorema è così dimostrato. 



2. Alla proprietà riconosciuta caratteristica per le deformate rigate del 

 catenoide si può dare una nuova forma, ricorrendo alla teoria delle defor- 

 mazioni infinitesime delle superficie. 



Per questo considererò qui una classe di deformazioni infinitesime delle 

 superficie rigate in generale, a cui già ho accennato a pag. 53 del voi. II 

 delle Lesioni, e ricercherò la più generale deformazione infinitesima di una 

 rigata R nella quale gli spostamenti dei singoli punti avvengono normal- 

 mente alle generatrici. 



