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Cerchiamo ora come dobbiamo prendere la funzione incognita a(u , v) , 

 affinchè esista una deformazione infinitesima di R nella quale gli spostamenti 

 dei singoli punti (u , v) avvengano nella direzione (X , Y , Z). Le componenti 

 dello spostamento saranno 



x = qX , y = QY , 5 = oZ , 



ove g è l'ampiezza. Scrivendo le tre condizioni caratteristiche per le defor- 

 mazioni infinitesime (Lesioni, voi. II, pag. 4) 



~ÒU ~ÒU ~ ' ~ÒV ~ÒV ~ ' \~ÒU ~òv ' !>v ~òu) 



coll'osservare le (a) e le (9), si vede che la prima di esse è un'identità e 

 le altre due danno 



D \og{ e cos o r) l u — a 

 _2 G tang(r+ ft , 



(10) ) Dlog(ocos<r) D" . 



j/G 



Basta dunque che e soddisfi alla condizione d' integrabilità per le (10), che 

 servendosi della equazione (7) di Codazzi diventa 



(11) — = — = sen e cos <r — — j 4- cos 2 e — — — . 



K J l>u G l)v Dy\G/ Dy \ G / 



Ad ogni soluzione e di questa equazione del 1° ordine corrisponde dunque 

 una deformazione infinitesima della rigata R della specie voluta. La solu- 

 zione e risulta determinata se si fissa (ad arbitrio) il valore di <s lungo una 

 generatrice ; abbiamo dunque il risultato : 



Qualunque rigata R ammette deformazioni infinitesime nelle quali i 

 punti si spostano normalmente alle generatrici, e lungo una generatrice si 

 possono assegnare ad arbitrio le direzioni degli spostamenti normali alla 

 generatrice. 



È da osservarsi che in queste deformazioni infinitesime delle rigate le 

 generatrici non restano rettilinee. 



8. Possiamo trasformare il risultato ora ottenuto in un altro che cor- 

 risponde al teorema generale secondo cui le deformazioni infinitesime si col- 

 legano alle congruenze W (Lezioni, voi. II, pag. 52). 



Ad ogni punto P = (u,v) della rigata si faccia corrispondere quel 

 punto Y 1 =(u 1 ,v), situato sulla medesima generatrice (v) , nel quale la 

 normale (X^ , , Z^) ha la direzione (X , Y , Z) dello spostamento in P 

 e dimostriamo il seguente teorema: 



