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 e la (13*) equivale perciò alla seguente 



(14) S*=f + £ + * 



Differenziando la (12 3 ) ed osservando le (8), viene 



dX? = — £ X' 1 » du, 



(Ti 



dove Di' indica il valore di D" in Pi . Se si applicano le medesime formole 

 (8) al secondo membro della (13 3 ) e si paragona col risultato precedente, 

 si ottiene l'identità 



Dobbiamo dimostrare che se P = (u , v) descrive un' asintotica curvi- 

 linea, anche Pi = {u, , v) descrive un'altra asintotica; ciò equivale a dire 

 che se è verificata l'equazione differenziale 



28 D" 



( 16) -du + ^=dv = 0, 

 lo sarà anche l'altra 



ovvero, per la (15), e per la (16) stessa 



a o 



(17) d<r-\--^du l — -^du = 0. 



Così dunque tutto si riduce a provare che dalla (16) segue la (17). 

 Differenziando 



Uì = a + 8tgSì v , 



coli' osservare che 



risulta 



1 _G, 



cos* Sì, 8 2 



L du, = dSì, + £- {a' + 8' tgSì,) dv . 



Gì Gì 



Similmente abbiamo 



l du = d Sì + ^{a' + 8'tgSì) dv, 



