— 777 — 



o in fine 



sen <s 



1>_ 



~òv 



(^j + | {§' cos 2SÌ — «' sen 2J2) | + 



+ cos ts j ^ (^Jp) + 1 («' cos 2i2 - /?' sen 2 2JI) j = 0 . 



Ma da tgi2 = — - — segue 



r 



sen 2/2 = -^-^ L , cos 2iì = - g 



e l'ultima identità da verificarsi resta quindi 



sen<r UÌG7+ g 5 r 



D /e< — a\ . 



cos <s 



Gr 2 



== 0 



Ora qui i due coefficienti di sen a , cos a sono identicamente nulli ed il 

 nostro teorema è dimostrato. 



4. Resta cosi provato che nella corrispondenza di punto a punto, sta- 

 bilita sulla rigata R al principio del n. 3, vengono conservate insieme le 

 asintotiche rettilinee (generatrici) e quelle curvilinee. Essa è d'altronde la 

 più generale trasformazione della rigata in sè che conservi le asintotiche 

 dei due sistemi; e in vero si è visto al n. 2 che l'angolo <s resta affatto 

 arbitrario lungo una generatrice, cioè resta arbitraria per una generatrice 

 la legge di corrispondenza dei punti P , Pi . Dopo queste osservazioni, pos- 

 siamo caratterizzare le deformazioni infinitesime delle rigate al n. 2 colla 

 costruzione geometrica seguente: 



Di una qualunque rigata R si consideri una trasformazione in sè 

 medesima che conservi le generatrici e le asintotiche curvilinee, e del 

 resto arbitraria ; ne resta individuata una deformazione infinitesima della 

 rigala nella quale ciascun punto P si sposta nella direzione parallela 

 alla normale nel punto corrispondente Pi . 



Sotto questa forma il nostro risultato corrisponde perfettamente alla 

 costruzione generale che collega le deformazioni infinitesime delle superficie 

 ■ alle congruenze W {Lezioni, voi. Il, pag. 52); soltanto, nel caso attuale, 

 avviene che la doppia infinità di raggi della congruenza W si riduce alla 

 semplice infinità dei raggi della rigata. 



Ritorniamo in fine alle speciali rigate deformate del catenoide ed alla 

 loro proprietà caratteristica del n. 1. Se per una tale rigata fissiamo la 

 legge di corrispondenza dei punti P , ~P l lungo una generatrice in guisa che 



Rendiconti. 1910, Voi. XIX, 1° Sem. 101 



