— 779 — 



Gli ordini delle funzioni costituiscono una categoria di enti, chiamati 

 ancora grandezze, più ampia della categoria q delle quantità reali. 



Gli ordini di e* , e* 3 , ... sono tutti infiniti, ognuno più grande del pre- 

 cedente. Gli ordini di log x , log log x , ... sono grandezze, maggiori di 0, e 

 minori d'ogni numero reale positivo, e ognuno è minore del precedente. Così 

 si presentano degli infiniti e infinitesimi attuali. 



La somma degli ordini delle funzioni fx e gx si suol definire come 

 l'ordine del prodotto fx X gx , ove varii x : 



(5) ord / -j- ord g = ord fxX gx\x . 



Questa definizione ha il difetto formale di esprimere ord / -{- ord £ non 

 già mediante ord / e ord#, ma bensì mediante / e g, che non sono indi- 

 viduate dai loro ordini. In altre parole, la definizione (5) deve essere accom- 

 pagnata dalla dimostrazione che la somma considerata non varia, se al posto 

 di / e di g pongo altre funzioni aventi lo stesso ordine. E la cosa è facile 

 a farsi. 



La difficoltà incomincia colla definizione del prodotto degli ordini. 



Il Borei, Legons sur la tliéorie de la croissance, Paris, 1910. ha ri- 

 preso a trattare la teoria degli ordini degli infiniti. Egli definisce, a pag. 20, 

 il prodotto degli ordini di fx e gx come l'ordine della funzione di funzione fg, 

 cioè: 



ord f X ord g = ord f(gx) \x. 



Questa definizione ha lo stesso difetto formale della (5); ma questo 

 difetto ora è reale. Il sig. V. Mago, nella sua tesi manoscritta per la laurea 

 all' università di Torino, osserva che effettivamente ord f X ord g non è fun- 

 zione di ord/. e di ord#, ma dipende dalla scelta delle funzioni f e g; 

 ossia sostituendo f e g con funzioni /' e g' , tali che ord /= ord/', e 

 ord# = ord#', non segue ord / X ord /' — ord g X ord g . Basta verificarlo 

 sull'esempio : 



fx = f'x = e x , gx = x , g'x = 2x. 



Lo stesso inconveniente presenta la definizione che il Borei dà a pag. 37, 

 che equivale a scrivere: 



lo.? /jcXlocr gx 

 (ord /) x (ord g) = ord e ^ x \x, 



che dà la moltiplicazione di due numeri, ma in cui il secondo membro non 

 si presenta, e non si può ridurre ad essere una funzione di ord /, e di ord g. 

 Risulta dallo stesso esempio. 



2. Il fatto che si può definire la somma, ma non il prodotto di due 

 ordini ci conduce all'osservazione che la definizione dell'uguaglianza degli 



