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ordini ha dell'arbitrario. Le funzioni f e g hanno lo stesso ordine, se il 

 limite del loro rapporto è finito; ma questo caso si può distinguere in altri, 

 secondochè il rapporto è minore o maggiore di 1, ed essendo l'unità, secon- 

 dochè vi converge crescendo o decrescendo, ecc. Invece del rapporto, pren- 

 dendo i logaritmi, si può considerare la differenza fra due funzioni. Così si 

 è condotti ad unire ad ogni funzione un nuovo ente, che rappresenta l'ul- 

 timo modo di comportarsi della funzione, e che, in mancanza di termine 

 più appropriato, dirò suo fine, e che si definisce per astrazione come segue. 



Il fine d'una funzione avente il valore costante a è questa costante. 



Il fine d' una funzione f è maggiore, o eguale, o minore del fine d' una 

 funzione g, se si può determinare un indice m , tale che per ogni indice x 

 da m in poi, sempre si abbia 



fx^> gx, o fx = gx , o fx <Cgx. 



In simboli: 



(1) fl*q . 0 . fine (t a; N 0 ) = a 

 /,</ £ qFN 0 .0: 



(2) fine f > fine g . = 3 N„ O m s (x e m + N 0 . 0^ . fx > gx) 



(3) = 



(4) < < 



Ad ogni successione / corrisponde allora un nuovo ente, suo fine; e 

 questi enti hanno le stesse proprietà delle quantità reali, salvochè non ne- 

 cessariamente il fine di una prima successione f dovrà essere o maggiore, 

 o eguale, o minore del fine d'una seconda; come già avveniva per gli ordini. 



Due funzioni, per aver fini eguali, non è necessario che siano sempre 

 eguali; basta lo siano da un certo valore della variabile in poi; ossia il 

 fine di una successione è un ente diverso dalla successione. 



Fra i fini delle successioni, ci sono le quantità reali, come risulta 

 dalla (1). 



I fini delle funzioni x , x 2 , ... sono infiniti, e ognuno di essi è maggiore 



dei precedenti. I fini delle funzioni — , — sono enti maggiori di 0, se- 



condo le definizioni (1) e (2), e minori d'ogni quantità positiva. 



Si presentano così nuove categorie di enti infiniti e infinitesimi attuali, 

 o costanti. E si vede che la differenza fra gì' infiniti attuali o costanti, e 

 quelli potenziali o variabili, questione che ha tanto appassionato e ancora 

 appassiona i filosofi matematici, sia una questione di puro linguaggio. La 



funzione — , per x tendente ad infinito, è un infinitesimo variabile ; il suo 



x 



fine è un infinitesimo costante. 



