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formato da punti tutti appartenenti a D. Il teorema fondamentale (dal quale 

 si può anche dedurre il teorema di esistenza per la F) e il seguente. 



I) Sia f f f , una successione minimizzante; sia cioè 



dóve Ìim<*-==<). Si estragga da essa una successione subor- 



i zzi CC 



dinata fa , fa , fa , - , tale che la serie sia convergente (ciò che è 



possibile in infiniti modi, perchè Ita *„ = <>). U ogni punto di D f«*te*o 

 aipft «» aggregato E « pmfti <ti D linearmente nullo) vale la ^/- = F - 



II) JZ limite jwr »=='» dell integrale di fa, esteso ad una qual- 

 siasi linea o superficie A, i cui punti appartengono tutti a D, e proprio 

 uguale al corrispondente integrale di F. Se A è uri area, questa 'proprietà 

 vale anche per derivate prime omologhe di fa e di F . 



2 Le ricerche di questa Nota partono dalla seguente osservazione: 



III) Le proprietà del teorema II del § 1 non sono vere soltanto 

 per la successione subordinata delle fa, ma anche per la successione 

 delle fa cioè per ogni successione minimizzante. 



Questo teorema si può estendere (teor. IV) dalle successioni agli insiemi 

 minimizzanti più generali: cioè ad ogni insiemi di funzioni /(* , y) di y\ 

 tale che, se . è un numero piccolo a piacere, esiste in esso una funzione 



f(x) tale che J(f) — d<e. 



IV) Fissata la linea od area A, allora, dato un numero <r piccolo 

 a piacere, si può trovare un numero e tale che, se f è una funzione di 

 )f\ soddisfacente alla J(/)-d <>, gli integrali di f e di V , estesi a A, 

 differiscano per meno di a. E un teorema analogo vale, se A e un area, 

 per gli integrali di derivate prime omologhe di f e di V. 



Dimostriamo il teorema III per la parte che riguarda F e le fa una 

 dimostrazione analoga vale per le loro derivate. Se il teorema III non fosse 

 vero, nella successione delle fa esisterebbe una successione subordinata 

 f . f . tale che il limite per n = oo dell'integrale di fa esteso a A 

 esisterebbe, e sarebbe distinto dall'integrale di F esteso a A. E questo 

 avverrebbe per ogni successione contenuta nella successione delle fa. La 

 successione minimizzante delle fa non soddisferebbe dunque al teorema II 

 del § 1 : ciò che è assurdo. Similmente, se il teorema IV non fosse vero, 

 si potrebbero trovare infinite funzioni /,,/*, ... tali che limJJ(A) - d] - 0, 



e che la differenza degli integrali di fa e di F estesi a A sarebbe per ogni 

 valore di n maggiore di a. La successione minimizzante delle fa contrar- 

 rebbe ai teoremi II e III: ciò che è assurdo. 



Tutti questi risultati si estendono al caso più generale, in cui si 

 voglia rendere minimo un integrale, il cui integrando sia una forma 

 (quadratica) positiva nelle derivate del primo ordine di f, e quindi alle 



