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più generali equazioni lineari differenziali del 2° ordine, ehe provengono 

 da un problema di calcolo delle variazioni. 



E ne risulterà in particolare, che, se la successione f x f t è mini 

 mizzante per il problema studiato, la media dei valori di f n presa in un 

 qualsìasr campo A lineare o superficiale di punti appartenenti a D, o i 

 coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier (o serie analoga) di f n su una 

 circonferenza formata da punti appartenenti a D, hanno per n = oo un 

 limite uguale alla media cor rifondente, o ai coefficienti del corrispon- 

 dente sviluppo in serie per la funzione F. E il teorema IV estende questi 

 risultati agk insiemi minimizzanti più generali 



L'integrando dell'integrale J(/), che si vuol rendere minimo sia invece 

 ima forma quadratica definita delle derivate di f( x , y ) di ordine k>l 

 (cfr. la Memoria citata, dove come esempio è studiato il problema delle 

 finizioni biarmoniche). L'equazione differenziale corrispondente G(F) = 0 

 sarà di ordine 2k>2. Sia \f\ il campo delle funzioni f^y), 1 su C 

 assumono valori prefissati insieme alle derivate di ordine 12 k-1 

 (escluso al più per le derivate di ordine k-1 un aggregato Ilarmente 

 nullo di punti di C, anche variabile da funzione a funzione di )ft) e che 

 sono p. es. entro D finite e continue insieme alle derivate di ordine 1 2 k 

 Sia rf il limite inferiore di J(f), quando / varia in \f\. Esiste una funzione F 

 di \f{ soddisfacente alle J(F) = d , G(F) == 0. Vale allora (cfr. loc cit ) 

 un teorema analogo al I del § 1, con questa sola variante che la lim/^F 

 è vera in ogni punto di D {nessun punto escluso). Anzi una proprietà simile 

 vale per e derivate di ordine 1 , 2 , ... , k — 2; le proprietà date nei teo- 

 remi I, II del § 1 per le f in e loro derivate prime si dimostrano nel caso 

 attuale rispettivamente per le derivate di ordine k — 1 e k delle f in . Coi 

 metodi precedenti troveremo dunque: 



Teoremi III e IV»*. Per ogni punto A di D , dato un numero a pic- 

 colo a piacere, si può trovare un numero e tale che, se 3(f) — rf< e , 

 i valori di f ed F in A di feriscono per meno di a. E altrettanto avviene 

 per le loro derivate omologhe di ordine 1 , 2 , ... , k — 2 . Se f } f % è 

 ima successione minimizzante, il limite per n = ™ del valore' 'di }"' in 

 ogni punto A di E è proprio il valore di F in A. Altrettanto avviene 

 per i valori in A delle derivate di f n , F di ordine 1 , 2 , ... , k — 2 , per 

 gli integrali omologhi lineari o superficiali delle derivate 'di /„, F di 

 ordine k — 1, e per gli integrali omologhi superficiali delle derivate di 

 fn, F di ordine k. 



Da questo teorema è così esaurita nel modo più generale la teoria 

 delle successioni e degli insiemi minimizzanti. 



I risultati di una mia Nota recente («) permettono di estendere questi 

 teoremi anche a problemi che, come il problema di Plateau, conducono ad 



( t ) Il teorema di 0*good ecc. Questi Rendiconti, 17 aprile 1910. 



