— 799 — 



equazioni differenziali non lineari, purché si ammetta il relativo teorema 

 di esistenza (per la funzione P). 



3. In una recente e importante Memoria : Sur le principe de mini- 

 mum ('), il sig. Zaremba osserva anzitutto (nel caso del problema di Diri- 

 chlet) che l'esistenza di punti sul contorno C di D, ove la F non assume 

 i valori prefissati, è un fatto insito nella natura stessa del problema che 

 esaminiamo, almeno fino a che non si fa qualche particolare ipotesi su D . 

 Se infatti al § 1 avessimo anche supposto che ogni funzione f(x,y) di )f\ 

 avesse valori prefissati in ogni punto di C, la funzione limite F potrebbe 

 non assumere tali valori in un aggregato di punti di C linearmente nullo. 

 Ciò avviene p. es. nel punto x = y = 0, se il campo D è il luogo dei punti 

 soddisfacenti alle 0 <! x 2 -f- y 2 ^ 1 • E lo Zaremba si propone quindi la 

 domanda: Se P è il problema al contorno (Randwerthaufgabej corrispon- 

 dente a un dato problema di calcolo delle variazioni (p. es. il problema 

 di Dirichlet corrispondente al problema di rendere minimo l' integrale J(/) 

 del § 1) è possibile far corrispondere ad una qualsiasi successione mini- 

 mizzante f\ , fi , ... un'altra successione <p Y , <p 2 . ... convergente in tutti i 

 punti di D, tale che la funzione P = lim tp n risolva un problema P' equi- 



n=oo 



valente al problema P, quando quest'ultimo è risolubile? 



E lo Zaremba risponde affermativamente a questa domanda per il caso 

 del problema di Dirichlet nel seguente modo. Per ogni punto A interno 

 a i) si costruisca un cerchio, formato di punti tutti appartenenti a D; e 

 si definiscano le y> n , assumendo come valore di <p n in A la media dei va- 

 lori di /„ in tale cerchio. Questo risultato dello Zaremba si deduce imme- 

 diatamente dai precedenti teoremi. Che esista infatti il lim </>„ si deduce 



«=00 



tosto dal teorema III e dalle ultime osservazioni del § 2 . Anzi il teorema 

 IV estende questo teorema ad ogni insieme minimizzante. Che poi sia proprio 

 lim (f n = F dipende da ciò che la media dei valori della funzione armo- 



n=oo 



nica F nel solito cerchio di centro A (media che per il teorema III è uguale 

 a lim (p n ) coincide per noti teoremi col valore di F nel punto A. Si può 



«=00 



evidentemente poi dire che F soddisfa ad un problema P' equivalente al 

 problema P di Dirichlet, se questo è risolubile; si può p. es. enunciare il 

 problema P' dicendo che J(F) = d , oppure che in ogni cerchio formato di 

 punti tutti appartenenti a D la F è armonica. Quanto poi alle condizioni, 

 cui deve soddisfare la F sul contorno C di D, queste si possono enunciare 

 dicendo che la F assume in C i valori prefissati eccetto che in un aggre- 

 gato di punti di misura lineare nulla, oppure si possono trasformare in una 

 uguaglianza tra integrali di F e integrali di una funzione y> che su C as- 



i 1 ) Bull, de l'Académie des Sciences Craeovie, juillet 1909. 



