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suina i valori assegnati, come appunto fa lo Zaremba. E la ragione intima 

 che rende possibile tale trasformazione di condizioni sta in ciò che gli ag- 

 gregati di misura nulla non influiscono sui valori di un integrale. 



4. Ora noi ci chiediamo: Si può rispondere affermativamente alla 

 domanda posta dal prof. Zaremba anche in casi più generali ? 



Riferiamoci a problemi (definiti) di calcolo delle variazioni, che corri- 

 spondono ad equazioni differenziali lineari (*). Per i teoremi III e IV"*) la 

 domanda posta dallo Zaremba ha interesse soltanto per quelli di questi pro- 

 blemi che conducono a equazioni differenziali del secondo ordine ( 2 ). In tal 

 caso si può ancora, come sopra, costruire la successione delle <p n ; questa è 

 ancora convergente, ma il suo limite <P == lim (p„ non coincide più general- 

 mente con la funzione minimizzante F cercata. E ciò, perchè per problemi 

 distinti dal problema di Dirichlet non è più vero che la funzione cercata P 

 abbia come valore nel punto A la media dei valori da essa assunti in un 

 cerchio di centro A. La P si potrebbe bensì definire come il limite di <P, 

 quando i raggi dei cerchi costruiti col centro nei vari punti A del campo D 

 tendono a zero, oppure in altro modo partendo dai teoremi dei §§ 1-2. 

 Ma, se noi volessimo proprio costruire la successione delle g>„ tale che 

 lim<p« = F, potremmo usare il seguente procedimento, che noi esporremo 



n=oa 



dapprima per il caso classico del problema di Dirichlet. Per ogni punto A 

 interno a D costruiamo una circonferenza L avente A per centro, una fun- 

 zione R delle coordinate di A per raggio, tale che ogni punto interno a L, 

 a posto su L, appartenga a D. 



Se u è una qualsiasi funzione armonica entro L , e se q , 6 sono coordi- 

 nate polari col centro in A , la formola di Green ce ne dà il valore u(A) 



nel punto A sotto forma di un integrale definito Jq(w) Q dd esteso ad una 



qualsiasi circonferenza concentrica e interna a L, dove Q(w) è funzione di 

 q ,6 q dipende in più dalla u e dalle sue prime derivate. Quindi 



u(A.) = i J o dq J Q(m) q de = - J Q(«) da , 



dove da = qdqd6 è l'elemento d'area, e l'integrazione è estesa a tutto il 

 cerchio (L) limitato dalla circonferenza L. La successione delle g> n , costruita 



assumendo 4 ( Q(A) da come valore di 9>n in A ' § ode per 1 teoremi del 



R /(L) 



(') Quelle delle seguenti considerazioni, che non ricorrono all'uso della formola di 

 Green, o altra formola analoga, si possono anche applicare a problemi di variazione, che 

 conducono ad equazioni differenziali non lineari, purché si ammetta il corrispondente 

 teorema di esistenza. 



( 2 ) Del resto queste considerazioni valgono anche per equazioni differenziali di or- 

 dine superiore al secondo, ma perdono in tal caso quasi ogni importanza. 



