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Intanto osserviamo che K(«0 + K(« 2 ) -| f- K(«„) vale s ft + 2S ft , 



come risulta dalla semplice ispezione della formula (2), dunque otteniamo 



(3) S k = -ls> + ^Ì($)s,s^. 



Notiamo che nelle formule di Neewton il coefficiente a r non si presenta 

 se non quando giungiamo a considerare s r . Tale osservazione permette di 

 dedurre proprietà utili; ma sarebbe forse inopportuno farne qui cenno. 



3. Formata che sia l'equazione alle semisomme, noi possiamo subito 

 trovare una condizione necessaria e sufficiente perchè f(x) — 0 abbia soltanto 

 negative le parti reali delle radici. Intanto bisogna che siano positivi (o al- 

 meno di ugual segno) tutti i suoi coefficienti: ciò risulta, come abbiamo 

 osservato anche prima, dalla sua decomposizione in fattori di primo e di 

 secondo grado. Supposti positivi tutti i coefficienti di f{x) = 0 , resta senza 

 altro esclusa la possibilità di radici reali nulle o positive. Potrebbero, caso 

 mai, presentarsi radici complesse coniugate l + i> , l — ìp> , con l nullo 

 o positivo; vediamo in che modo ne risentirebbe l'equazione F(as) = 0, alle 

 semisomme: essa dovrebbe presentare la radice reale A, nulla o positiva. 

 Se, invece, l'equazione f\x) = 0 non ha radici con parte reale nulla o po- 

 sitiva, allora la P(a?) = 0 non potrà avere radici reali nulle o positive. 



Tutto si riduce all'esame della possibilità che Y(x) = 0 abbia radici 

 reali nulle o positive. Ora basta che F(a?) abbia tutti i suoi coefficienti di 

 ugual segno (positivi) perchè tale possibilità sia esclusa. 



Finora dunque risulta che, se ¥{x) ha tutti i coefficienti di ugual segno, 

 ciò è sufficiente perchè le radici reali e le parti reali delle radici complesse 

 di f(x)~ 0 siano negative. Ma ciò è anche necessario, perchè, se F(as) = 0 

 avesse i coefficienti non tutti di ugual segno, allora dovrebbe avere qualche 

 radice positiva o nulla, o almeno qualche radice complessa con parte reale 

 positiva o nulla (per l'osservazione già due volte esposta); ma queste non 

 potrebbero essere che semisomme di radici positive o nulle o di radici con 

 parte reale positiva o nulla di f(x) — 0. 



Riassumendo, noi possiamo enunciare un teorema, teoricamente molto 



semplice, cioè: 



Condizione necessaria e sufficiente perchè l'equazione a coefficienti 



reali 



f(x) = a 0 x n + a l x n ~ x -\ h a n-i x + a n = 0 



abbia soltanto negative le radici reali e le parti reali delle radici com- 

 plesse è che essa abbia tutti i coefficienti diversi da zero e di ugual segno^ 

 e che l'equazione alle semisomme abbia anch'essa tutti i coefficienti diversi 

 da zero e di ugual segno. 



