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4. L'equazione alle semisomme ci può dare alcuni criteri, che, pur non 

 avendo molta eleganza teorica, servono assai efficacemente nelle questioni 

 applicative. Il problema di Hurwitz serve essenzialmente in pratica per le 

 considerazioni seguenti : 



Se 



( } a " 1F + fll dF^ ~1 f" an ~ l dt+ anl/==0 



è un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti, il suo integrale 

 generale è 



(5) y = P^) e h + PfW 1- P,(0 rf>? , 



dove le fi sono le radici diverse dell'equazione caratteristica 

 a 0 x n + a, x n ~ x -\ f- a n _ x x + a n = 0 , 



e Pi(*) , P 2 (/) , ... , P v (*f) sono polinomi che hanno i gradi inferiori di 1 al- 

 l'ordine di multiplicità delle rispettive radici fi. 



Noi diremo, per visibili riferimenti a questioni di meccanica che 

 l'espressione (5) costituisce una soluzione stabile del problema che conduce 

 a (4) quando le radici reali dell'equazione caratteristica sono tutte negative, 

 e le parti reali delle radici complesse sono tutte negative. Ma la stabilità 

 non lascia di essere piccola e praticamente spesso inutile («) quando almeno 

 una di queste grandezze negative è molto vicina a zero. Quasi altrettanto 

 importante come la loro qualità di essere negative è la loro qualità di essere 

 lontane dallo zero; infatti y, pur tendendo a zero per t = oo , può, se le 

 parti reali delle fi sono vicine a zero, acquistare prima valori molto consi- 

 derevoli. 



Si presenta dunque la questione di sapere se, fra zero e un numero 

 negativo fisso — X , esistano radici reali o parti reali di radici di f(x) ~ 0. 

 In caso che ciò avvenga, la trasformata f(x — X) = 0 avrà qualche radice 

 positiva o qualche parte reale positiva di radici complesse. Ora l'equazione 

 alle semisomme di f(x — A) = 0 è evidentemente la trasformata F(x — X) = Q 

 dell'equazione alle semisomme di f{x) = 0. Calcolata F(x) == 0, resta poi 

 agevole calcolare F(x — A) = 0. Il segno dei coefficienti di f(x — l) e di 

 F(x — X) permetterà di decidere, a norma del teorema del n. 3, se fra 0 



t 1 ) Cfr. la Dinamica del Routh. 



( 2 ) Per esempio, gli aeroplani tipo Wright, che hanno il timone anteriore poco o 

 nulla inclinato sulla direzione del movimento, sono poco stabili o poco instabili l'uria e 

 l'altra qualità sono quasi equivalenti, perchè (senza una costante attenzione da parte del- 

 l'aviatore) equivalgono ad una scarsa sicurezza. Essi guadagnano, viceversa, in agilità 

 quello che per dono in sicurezza. 



