- - 



Dans la présente note, nous évitons la considération de ce 

 nombre k et nous nous appuyons sur une démonstration complète 

 du théorème de Bernoulli que nous avons publiée dans les Annales 

 de la Société scientifique de Bruxelles (1902, t. XXVI, 2 e partie, 

 pp. 191-205). 



3. Lemme. Posons 



P + Î=l, Pi + Çi 1, Pt + ?» li 

 0 < p x ^ p ^ p t < 1 



M et T étant constants, ?, l„ 1. 2 des fractions inférieures respecti- 

 vement à p et q, p 1 et q^ p., et q t . 



L'expression p — l croît ou décroît en même temps que p, 

 comme on le voit, en écrivant 



L'expression p + l croît aussi avec p. Car 



|» + / - 1 - (q ~ 



Or, si^> croît, q = 1 — p et, par suite, gr — l décroît ; donc p + / 

 croît. 



Il résulte de là que l'on a 



Pt—l^p — l^Pz—l»; p x + h ^P -f ?é />« + h 

 et aussi 



M (/>> — *i) ^ M - 0 ^ M (Pi - 



m (Fi + y * m (i> + o £ m ta + ^ 



Par suite, lorsque p varie de p } à /> 2 , l'intervalle 

 [u - 0, M (/> + 0] 



