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en faisant à présent dans cette dernière m = %i -f 1, on aura 

 donc la formule de réduction 



VX = (2» + 1) ¥ X„ - (2* + 2)(1 + X„ +1 + (2» + 3) X )i+2 , 



(251) (2» + 3)X n+2 = ^.^v / X - (2n+l)^X fl + (2n+2) (1 + A*)X„ +I , 



laquelle, évidemment, permettra de nouveau, par des substitu- 

 tions successives, de déterminer de proche en proche toutes les 

 quadratures X n en fonction linéaire des deux premières X 0 et X,, 

 et d'un terme algébrique de la forme &(x\k 2 ) x\/%, la fonction $ 

 étant entière en x % et k 2 . 



Un point seulement doit retenir encore, pour un instant, notre 

 attention, en raison de l'importance de ses conséquences pour 

 l'étude qui va suivre, à savoir le degré en x* et k\ tant de la 

 dite fonction que des coefficients des seules quadratures 

 restantes X 0 et X, , dans l'expression demandée de la quadrature 

 à réduire X n+2 . 



Pour cela, remarquant que la formule précédente (251) devien- 

 dra à chaque fois, si l'on y fait successivement n = 0, 1, 2, 3, . .. , 



A-*X 0 + 2(1+**)X 1( 

 3*»X, -f4(l+A- 2 )X 2 , 

 5À 2 X 2 + 6(1 + A 2 )X 3 , 



il est visible alors, les coefficients des deux quantités X„ au second 

 membre de chacune de ces égalités étant des fonctions linéaires 

 de k 2 , que lorsqu'on aura remis dans la seconde équation la valeur 

 de X 2 fournie par la première, pour celle de X 3 ainsi obtenue les 

 coefficients de X 0 et X t seront entiers et du second degré en & 2 , et 

 le coefficient de #\/X, ou la fonction du premier degré en x* 



<252) / n — % 



3X 2 = *vx- 

 5X 3 = x\ x\/X — 

 7X 4 = x*. x\JX- 



