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On peut observer, à titre de contrôle, que les équations (II) et (IV) 

 d'une part, et (III) et (V) d'autre part (pp. 63 et 66), fournit-, 

 comme on l'a vu, respectivement par les intégrales doubles I (0) (37) 

 et I ' « 140), puis J< 0) (87) et (141), sont bien effectivement 

 chacune de la forme indiquée par le Théorème que nous venons 

 de démontrer. 



Il importe également, avant d'examiner quel usage nous pou- 

 vons faire de ce même Théorème, de noter, au sujet des formes 

 comparées des deux équations (I (n) ) et (J ' \ les trois remarques 

 suivantes : 



1° Quant aux seconds membres, qu'ils seront exactement du 

 même type dans les deux équations, en changeant simplement 

 n en (n + 1) dans la première de ces équations. 



2° Que ce type, considéré pour l'équation I (2) , est également celui 

 que le Théorème IV antéprécédent assigne aux expressions des 

 neuf premières inconnues I 0 , J 0 , , I 4 , sauf que celles-ci con- 

 tiennent en plus linéairement le terme 



g 1 ) TT (q> 2 , h„ k % ) — TT (<p„ A n K) \ = g' (ÏT f - TT,). 



3° Quant aux premiers membres, que l'inconnue J„ +2 ne figure 

 pas dans la première équation, tandis qu'elle entrera toujours, au 

 contraire, dans la seconde, en sorte que si Ton suppose écrits à la 

 suite les uns des autres, pour toutes les valeurs entières de n à par- 

 tir de n = 1 inclus, tous les systèmes de deux équations du type 

 formulé par le dit Théorème V précédent, chaque équat ion succes- 

 sive en particulier introduira une seule inconnue nouvelle, qui sera 

 tantôt I, tantôt J (abstraction faite de l'indice), ce qui permettra par 

 conséquent, les neuf premières inconnues étant connues par le 

 Théorème IV, de déterminer de proche en proche toute la série des 

 autres, pour toutes les valeurs positives de l'exposant ou indice n, 



A cet effet, remettant d'abord dans l'équation (J (ï) ) l'expression 



des neuf premières inconnues, savoir I 0 , J 0 , , l 4 procurées par 



le Théorème IV, et tenant compte des remarques 1° et 2° précé- 

 dentes, cette même équation nous fournira alors pour la deuxième 

 inconnue J 4 qu'elle contient seule en plus, et dont la présence y est 

 certaine (p. 121), une valeur de même forme que son second 

 membre avec addition d'un terme tel que \xg'(U 2 — TT,), le coeffi- 

 cient u, ainsi que tous les autres coefficients de l'expression en 



