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tous les coefficients des divers polynômes F. f, et dont l'indice 

 marque le degré maximum, ainsi que la constante G, étant encore 

 rationnels en g 1 ou g' 2 , et le polynôme F (a? 2 , k 2 ) du terme algé- 

 brique vérifiant de nouveau la condition F (1, — g' 2 ) = 0. 



En admettant comme démontrés tous les Théorèmes précé- 

 dents, on établira très simplement à posteriori celui-ci à l'aide 

 du procédé classique consistant à s'assurer que, si l'on admet 

 l'exactitude des expressions en question, seulement pour toutes 

 les valeurs négatives de l'indice des inconnues I et J jusqu'à une 

 certaine valeur particulière que nous désignerons par — (n — 1) 

 pour I et par — n pour J, elles seront encore exactes pour 

 les valeurs suivantes de l'indice, — n pour I, et — (n -f- 1) 

 pour J. 



En effet, on reconnaît sans peine que, par le moyen des dites 

 expressions, jointes à celle (283) de 3_ x et à celles (202) et (278) 

 des I n , J n à indice positif, le Théorème VIII antéprécédent fournira 

 alors pour les deux inconnues suivantes I_ n , J_ ( , 1+ d, des expres- 

 sions qui ne différeront de celles proposées (284) que par le 

 changement de n en n -f- J, chaque symbole de fonction étant 

 supposé, bien entendu, désigner alors une fonction nouvelle. Or, 

 ce même type (284) est précisément celui des expressions que l'on 

 obtient pour les deux premières des inconnues actuellement consi- 

 dérées, savoir I_, et J_ 2 , à l'aide du système des deux équations 

 <£)' 2 i et <^ (2) ), par le calcul que nous avons mentionné tout à 

 l'heure (p. 140) comme première application du Théorème VIII 

 précité. D'où il résulte que l'exactitude des dites expressions (284) 

 se trouve également démontrée pour toutes les valeurs entières et 

 négatives de w, la valeur de l'inconnue I 0 dont l'indice n'est pas 

 négatif étant, bien entendu, excepté. 



La considération simultanée des deux expressions successi- 

 vement obtenues pour une même intégrale double au moyen des 

 deux systèmes différents de variables, employés à plusieurs 

 reprises dans ce Mémoire, et empruntés à notre Ghap. I, nous a 

 donc bien procuré, comme nous l'avions annoncé, l'expression 

 à l'aide, seulement, des mêmes fondions elliptiques et des mêmes ■ 

 irrationnalités, de toute la classe de quadratures de fonctions ellip- 

 tiques par rapport au module que nous nous étions proposé 

 d'étudier. 



