— 51 — 



la cosa rappresentata: la quale somiglianza, si sa, è basata sulla comprensione 

 in un certo concetto generico, formato dai tratti comuni ad ambedue, cioè 

 dall'identità di un certo complesso di note (qualità, attributi). Per arrivare, 

 nello studio dell'anologia a questo concetto generico, a questo complesso di 

 note, si possono distinguere tre fasi. La prima è quella nella quale vengono 

 investigate le proprietà caratteristiche del nostro spazio e quelle della varietà 

 logica, costituita dai nostri pensieri. Nella seconda si esaminano i caratteri 

 simili, ed unendoli assieme, si costruisce il concetto generico superiore (che 

 vedremo essere quello della moltiplicità continua, infinita, n dimensionale), 

 nel quale sono subsunti i due concetti di spazio e di varietà logica. Nella 

 terza ed ultima fase, considerando che tutte le proprietà desunte dallo studio 

 di tal concetto superiore valgono sì nella logica che nella geometria, si fonda 

 e si spiega l'analogia di queste due discipline. 



« Per ciò che si riferisce alla prima fase, le opere magistrali di Bie- 

 mann, Helmholtz e Beltrami sono troppo note per citarle quali modelli di 

 analisi intorno alla natura del nostro spazio ed ai fondamenti della geome- 

 tria. Poi, se è lecito citar sè stesso, nei Fondamenti del calcolo logico (vedi 

 nota 3) ho raccolti i risultati di alcune ricerche intorno al campo del pen- 

 sabile (o spazio logico) formato da tutta la molteplice varietà dei nostri pen- 

 sieri. Di modo, che, senza ripetere già quello che si contiene nelle opere or 

 citate, le potremo considerare come preparazione alla seconda fase, che ci 

 accingiamo a svolgere, e ci riporteremo alle stesse quando sarà d'uopo. 



« 8. Chiamando quantità logica tutto ciò che può essere pensato (senza 

 contraddizione interiore), queste si trovano fra loro, nell'unità della mente, in 

 diverse relazioni. Le quali possono essere tre: 



« I. Con la quantità a viene pensata un'altra, b. b si dice minore o 

 parte di a. 



« IL Con la quantità a viene pensata una parte di b. 



« III. Con la quantità a non viene pensato b ( 1 ). 



« Analogamente chiamando quantità superficiale una qualunque ( 2 ) 

 figura chiusa o un qualunque pezzo o complesso di pezzi di un piano dato, 

 si vede che fra tali quantità (a, b) sono possibili tre relazioni : 



« I. Inclusione totale di b in a; b è parte, o minore di a. 



« IL Inclusione parziale di b in a. 



« III. Esclusione di b e di a. 



(!) Fondamenti, p. 8. La definizione di una quantità logica e le tre relazioni — che 

 costituiscono i principi fondamentali del calcolo logico — valgono per tutte le forme lo- 

 giche : cioè per le relazioni estensive dei concetti, dei giudizi e dei raziocini. Però qui si 

 considererà più specialmente i concetti e le loro relazioni ai quali sono reduttibili le altre 

 forme ; come conto dimostrare un'altra volta. 



( 2 ) Dicendo qualunque figura chiusa del piano, si riferiscono le cose dette tanto alle 

 rappresentazioni mediante circoli quanto a quelle citate alla nota 2. Cfr. le note. 



