— 52 — 



« Da queste relazioni scaturiscono le definizioni, che valgono tanto nel 

 calcolo logico che in quello delle superficie, e si spiegano le scritture a^> b, 

 a = b , ci , 1 , 0 , le quantità elementari e le operazioni a -f- b , a . b e a — b ( 1 ). 



« Su tale analogia, che ha le sue radici nella identità delle tre rela- 

 zioni sovraccennate, si basa la possibilità di fissare una corrispondenza tra la 

 varietà logica e quella del piano e quindi della rappresentazione euleriana ( 2 ). 

 Ma affinchè la rappresentazione grafica delle quantità logiche sia incensura- 

 bile ed abbia forza di prova è necessario che la corrispondenza sia univoca 

 e reciprocarle : cioè che ad ogni quantità e relazione della varietà logica 

 corrisponda una quantità e relazione omonima nella varietà del piano e vice- 

 versa. Allora, appena, si potrà rappresentare qualunque espressione logica dia- 



(!) La nozione della disuguaglianza vien presa da due quantità a, b che stanno nella I. 

 relazione e si scrive a^> b oppure b <Ca. Quando è a >• b e b~> a si scrive a = b. Quindi 

 si chiama prodotto (ab) di due quantità a, b, la massima quantità minore di a e di b; 

 somma (a -\- b) la minima quantità maggiore di a e di b ; negazione di a (a') la somma delle 

 quantità che stanno nella III relazione con a; differenza (a— b), la massima quantità minore 

 di « e di V . Poi si segna con 1 (tutto il piano o la varietà logica, il pensabile) e 0 la 

 classe maggiore o rispettivamente minore di ogni quantità assegnabile. Quando è 



0 < ab < a 



a è diviso da b in due parti ab ed ab' [che soddisfanno alle equazioni 



(ab) [ab') = 0 

 ab + ab' = 1 



e si dicon disgiunte e complementari per a]. Si chiamano elementi (enti od individui) le 

 quantità che non si possono dividere in altre, cioè le quantità a per le quali non si può 

 trovare alcun b tale che sussista la disugualianza di sopra. 



( 2 ) Il merito della rappresentazione euleriana sta appunto nel fatto che essa rappresenta 

 queste tre relazioni : « the essential characteristic of the Eulerian pian being that of re- 

 presenting dicectly and immediately the inclusion and exclusion of classes » (Venn. op. 

 cit. p. 52) ; ciò che del resto rendono anche le altre rappresentazioni con figure geome- 

 triche ed i simboli lambertiani, cui quali ultimi le quantità logiche (classi o concetti) 

 vengono seguite con rette e le tre relazioni con le figure seguenti: 



I. a II. a III. a. 



b b b 



Confrontando queste col piano euleriano, possono riguardarsi come le proiezioni dei cir- 

 coli ad un piano verticale ; cioè sono le sezioni nelle quali appariscono a e b, come dia- 

 metri dei circoli euleriani. 



Per la sola relazione I, cioè per la inclusione del genere nella specie, v'erano ancor 

 da tempi antichi i simboli dell'albero porfiriano e dei triangoli (cfr. Venn, op. cit. Hamilton: 

 Discussions, ed. IH, p. 666), dei quali fa esplicita menzione Lodovico Vives (De censura veri, 

 lib. II) : « si aliqua pars a capit totum b, et aliqua pars b capit totum c, c totum capietur 

 « ab a : ut si tres triangoli pingantur, quorum unus B sit maximus, et capiet alterum A, 

 « tertius sit minimus intra A, qui sit C, ita dicimus si omnes b est a et orane c est a : 

 « adhibetur regula quam diximus esse canonem artium et vitae totius ». Cfr. F. A. Lange: 

 Logische studien, p. 10. 



