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« 3. Esaminiamo come si stabilisce la corrispondenza fra i punti del- 

 l'hessiana quando si spezza in un piano e in un cono cubico non degenere e 

 quando si chiamano corrispondenti due punti di essa tali che ognuno sia doppio 

 per la quadrica polare dell'altro. 



a A un punto della linea doppia dell'hessiana corrisponde una genera- 

 trice del cono ; agli altri punti del piano-hessiano corrisponde il vertice del 

 cono. Ora i punti della linea doppia si possono far corrispondere a questo 

 modo. Ad un punto Q di essa corrisponde una generatrice q il cui estremo P 

 (chiamando estremo il punto in cui taglia il piano-hessiano) ha per corrispon- 

 dente una generatrice p passante per Q. Si possono allora considerare corri- 

 spondenti i punti P e Q della linea doppia ; corrispondenti le generatrici j) e q 

 del cono-hessiano. Esaminiamo queste corrispondenze. 



« La quadrica polare di P rispetto alla superficie fondamentale si spezza 

 in due piani passanti per Q; le intersezioni di questi piani col piano-hes- 

 siano costituiranno la conica polare di P rispetto alla sezione prodotta dal 

 piano-hessiano sulla superficie fondamentale. Ossia: 



« Quando l'hessiana si spezza in un cono cubico e in un piano, la se- 

 zione di questo piano con la superfìcie fondamentale ha per hessiana la se- 

 zione del medesimo piano col cono. Dunque la curva inviluppo delle rette PQ 

 non è altro che la Cayleyana della sezione del piano hessiano con la super- 

 ficie fondamentale. Per conseguenza: 



« Il cono inviluppo dei piani contenenti generatrici cor- 

 rispondenti del cono-hessiano è della terza class e, del sesto 

 ordine e possiede nove generatrici cuspidali di cui soltanto 

 tre reali. 



« 4. Siccome la sezione prodotta dal piano-hessiano sul cono hessiano è 

 hessiana della sezione fatta dallo stesso piano sulla superficie fondamentale, 

 essa avrà comuni con quest'ultima i nove flessi e saranno altrettanti punti 

 doppi dell'hessiana situati sulla superficie fondamentale, cioè saranno nove 

 punti di Eckardt ('). 



« Se l'hessiana di una superficie cubica si spezza in un 

 piano e in un cono cubico, la superficie fondamentale pos- 

 siede nove punti di Eckardt di cui soltato tre reali. Questi 

 nove punti stanno sul piano-hessiano e i tre reali in una retta. 



Ogni superficie cubica la cui hessiana si spezza in un 

 piano e in un cono cubico, è trasformabile proiettivamente in 

 superficie simmetrica. 



« 5. Vediamo in questo caso che cosa tien luogo del pentaedro di 

 Sylvester. 



« Sia una superficie cubica Si la cui hessiana non si spezza e «, /?, y, d, f, 

 (') Cf. la mia Nota presentata all'Accademia dei Lincei e pubblicata nel voi. VI, f. 9. 



