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le cinque facce del pentaedro. Al vertice afiy corrisponda lo spigolo r h. La- 

 sciamo fìsse le 4 facce «, /?, y, d e facciamo ruotare la faccia s attorno alla 

 retta ós finché viene a passare per il vertice «jìy. 



a Le oo 4 superficie cubiche Sj che ammettono lo stesso pentaedro ajSyós 

 (prima che la rotazione di « incominci) durante il movimento di £ si deforme- 

 ranno successivamente e continuamente fino a coincidere con quelle oo 4 super- 

 ficie 2i le quali hanno per pentaedro l'insieme dei cinque piani apyòs^ ove 

 indica la posizione che raggiunge e allorché il suo moto è cessato, cioè quando 

 è venuto a passare per afiy. Fra tutte le superficie S; anche la nostra Si 

 si sarà continuamente deformata e alla fine del movimento sarà diventata 

 la 2i ; una delle 2{. Ciò posto è noto che la quadrica polare di afìy rispetto 

 a Si è costituita da due piani A, /i passanti per la retta ds e coniugati 

 armonici rispetto alla coppia Se. Per conseguenza come ad ogni posizione 

 di e corrisponde una deformata di Si, così corrisponderà anche una posizione 

 speciale dei piani X e ,« relativa a tale deformata. Dico che quando e passa 

 per i piani X e /< coincidono. Vediamo se posssono coincidere quando e 

 non taglia in un medesimo punto i piani «, /?, y, ma quando li taglia secondo 

 tre rette non passanti per uno stesso punto. Allora è evidente che i punti 

 comuni alle tre rette e il punto afty sono ancora punti doppi dell' hessiana 

 situati al di fuori del piano ó. Ma abbiamo ammesso che in questa posi- 

 zione del sistema i piani X e p siano venuti a coincidere con cioè che 

 la quadrica polare afiy sia ridotta al piano ó' contato due volte. In questo 

 caso dunque per il teorema del § 2 l'hessiana si spezza in un cono cubico 

 e nel piano ó, cioè d contiene tutti i punti doppi dell' hessiana, mentre si è 

 dimostrato che ve ne sono 4 fuori di J. L'assurdo è provenuto dall'avere 

 ammesso che s possa non passare per afiy quando X e ,u coincidono con S. 



u Questa speciale configurazione del pentaedro di Sylvester apparisce 

 così come condizione sufficiente perchè l'hessiana si spezzi in un cono cubico 

 e in un piano. 



a Però è anche necessaria. Infatti sia P il vertice del cono h essiano; 

 p il piano-hessiano ; abbiamo veduto (§ 2) che la quadrica polare di P è 

 il piano p contato due volte; dunque in esso coincidono i piani X e /«; 

 ma se ciò avviene abbiamo già dimostrato che e passa per P e <5 coincide 

 con p. 



« Se ne conchiude quindi : 



a II problema della riduzione alla forma canonica della 

 equazione di una superficie cubi ca la cui hessiana si spezza in 

 un cono cubico e in un piano, ha un numero infinito di soluzioni. I 

 pentaedri corrispondenti hanno quattro delle loro facce passanti 

 per il vertice del cono, la faccia rimanente è il piano hes- 

 siano. Per individuare uno di questi pentaedri si può sce- 

 gliere arbitrariamente una delle facce passanti per il vertice 



