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del cono; un'altra essendo data dal piano-hessiano, le tre 

 rimanenti risultano determinate come segue. Si prendono i 

 tre punti d'incontro della faccia scelta arbitrariamente con 

 la linea d'intersezione del cono col piano-hessiano; le rette 

 corrispondenti a questi tre punti sono tre generatrici del 

 cono-hessiano e i tre piani che esse determinano a due, a due, 

 costituiscono le tre facce richieste. 



« 6. Abbiamo dimostrato che se una superficie cubica deve far parte 

 dell'hessiana, questa superficie cubica deve essere un cono. Sussiste un teo- 

 rema analogo per le quadriche e cioè : 



« Se dell'hessiana degenere fa parte una quadrica, questa 

 deve essere un cono. 



« Per dimostrarlo occorre cominciare dal caso in cui l'hessiana si com- 

 ponga di due piani a e § e di una quadrica Q che non si spezza in due piani. 



« Allora secondo il teorema del § 2 « e Q debbono formare un cono 

 cubico perchè insieme a /? costituiscono l'hessiana; per la stessa ragione 

 § e Q debbono pure formare un cono cubico. Questo porta che Q sia un cono 

 quadrico; che a e /? passino per il suo vertice e di più che siano coinci- 

 denti, altrimenti avviene che il piano /? entra a far parte dell'hessiana contato 

 una sol volta e il rimanente è un piano a (distinto da /?) più un cono qua- 

 drico non degenere, ciò che per lo stesso teorema non è possibile. Dunque la qua- 

 drica Q è un cono e i piani a e § sono coincidenti e passano per il vertice di Q. 



« Tutti i punti del piano a sono doppi per l'hessiana, ed a contato due 

 volte rappresenta la quadrica polare del vertice di Q. Quindi esiste un punto P 

 la cui quadrica polare è un piano contato due volte e passante per P, cioè la 

 superficie cubica fondamentale ha in P un punto doppio imiplanare. 



« Viceversa, se esiste un punto la cui quadrica polare si riduca a un 

 piano contato due volte e passante per il punto, questo piano entra due volte 

 a far parte dell'hessiana. E infatti un tal punto è manifestamente imipla- 

 nare per la superficie fondamentale, dunque secondo un resultato di Schlàfli ( x ) 

 l'hessiana si spezza in un cono quadrico e in un piano contato due volte e 

 passante per il vertice del cono. In tal caso dalla Memoria di Schlàfli resulta 

 che tal cono quadrico non si spezza se la superficie fondamentale è della 

 quinta, o della sesta classe; si spezza in due piani se la superficie è della 

 quarta classe. 



« Possiamo così enunciare il teorema : 



« La condizione necessaria e sufficiente perchè l'hessiana 

 si spezzi in un cono quadrico e in un piano contato due volte, 

 è che esista un punto la cui quadrica p olar e si a costituita da 

 un piano contato due volte e passante per il punto, oppure: 



(!) Schlàfli loc. cit. pag. 230, 234, 238. 



