— 60 — 



« Tale condizione equivale alle altre: che la superficie 

 fondamentale abbia un punto doppio uniplanare e sia della 

 quinta, o della sesta classe. 



« 7. Per completare la dimostrazione del teorema espresso al principio 

 del § precedente bisognerebbe ora trattare il caso in cui l'hessiana si spezza 

 in due quadriche. Ma è necessario premettere il seguente teorema : 



"Se l'hessiana di una superficie cubicaha un punto uni- 

 planare, essanehain finiti e si spezza inunconoquadrico e in 

 un piano contato due volte passante per il vertice del cono. 



« Infatti è noto che se una superfìcie ha un punto doppio ; nel cono 

 osculatore del punto doppio sono situate 6 rette ognuna delle quali ha nel 

 punto doppio quattro punti riuniti a comune con la superficie. Nel nostro 

 caso la superficie (l'hessiana) è del 4° ordine ; il punto doppio P è unipla- 

 nare cioè il cono osculatore è un piano n contato due volte, dunque le 6 rette 

 precedenti sono tre distinte e ognuna è contata due volte. Esse, all'infuori 

 del punto uniplanare P, non incontrano più l'hessiana perchè 4 è l'ordine 

 della superficie. Le quadriche polari dei punti di una qualunque di esse 

 rispetto alla superficie cubica fondamentale debbono formare un fascio, e in 

 questo fascio abbiamo quattro coni coi vertici infinitamente vicini e sono i 

 coni polari dei quattro punti infinitamente vicini che ogni tal retta ha a 

 comune con l'hessiana ( 1 ). Dunque tutte le sei rette (a due, a due riunite) 

 appartengono all'hessiana, cioè fa parte di essa il piano n che le contiene 

 e che non è altro che il cono (degenere) osculatore della superficie hessiana 

 nel punto P dato uniplanare. Per conseguenza (§ 2) il rimanente dell'hes- 

 siana sarà un cono cubico : però il punto dato P è stato supposto uniplanare, 

 dunque il cono cubico deve essere tangente al piano 7t, ossia deve avere 

 il suo vertice situato in n. Ora il cono cubico deve essere degenere, giacché 

 quando non è tale, il piano-hessiano non passa per il suo vertice (§ 1, 2), 

 quindi secondo le considerazioni del § precedente tale cono cubico non può 

 spezzarsi che nel piano n e in un cono quadrico di vertice P, cioè l'hes- 

 siana resulta costituita di questo cono quadrico e del piano n contato due 

 volte, come si voleva dimostrare 



« 8. Premesso questo teorema resulta ora completamente dimostrato anche 

 quello enunciato al principio del § 6. Infatti, nell'esame dei casi nei quali 

 una quadrica può entrare a far parte dell'hessiana degenere non rimangono 

 che i seguenti : l'hessiana si spezza in due quadriche distinte, o in una con- 

 tata due volte. Nel primo le due quadriche possono tagliarsi lungo una curva 

 del quarto ordine, o toccarsi lungo una conica. Se si tagliano, ogni punto P 

 dell'intersezione è biplanare per l'hessiana (il cono osculatore essendo costi- 

 tuito dai piani tangenti in P alle quadriche); ad esso per conseguenza cor- 



(') Questo basta per concluderne che ogni quadrica del fascio è un cono. 



