risponde la retta p che contiene i poli dei due piani tangenti. Onde dovendo 

 i coni polari dei punti di questa retta p avere il vertice comune in P, p con- 

 terrà tre punti doppi dell'hessiana, giacché nel fascio dei coni polari ci sono 

 tre coppie di piani ; dunque p contiene tre punti dell'intersezione delle due 

 quadriche cioè appartiene ad entrambe ; siccome P è qualunque, le quadriche 

 hanno infinite rette a comune e coincidono. 



« Non rimangono quindi a considerarsi altri casi che quelli in cui l'hes- 

 siana consti di due quadriche che si toccano, o di una quadrica contata due 

 volte. Però in ognuno di essi l'hessiana possiede infiniti punti uniplanari, e 

 per il teoremaa del § precedente basta la presenza di uno solo di questi 

 perchè la superficie si spezzi in un cono quadrico e in un piano contato 

 due volte. 



« Possiamo dunque enunciare il teorema : 



« Le sole superficie che possono far parte dell'hessiana 

 degenere di una superficie del terzo ordine sono: il cono 

 cubico, il cono quadrico e il piano». 



« 9. Abbiamo già esaminato al § 3 come si stabilisce la corrispondenza 

 fra i punti dell'hessiana (ognuno dei quali è il vertice del cono polare del- 

 l'altro) quando essa si spezza in un piano e in un cono cubico. Facciamo 

 ora altrettanto nel caso che l'hessiana sia costituita da un cono quadrico e 

 da un piano contato due volte. Per i resultati dei § G, 7, 8 questo avviene 

 sempre e soltanto allora quando la superficie fondamentale ha un punto uni- 

 planare ed è della quinta, o della sesta classe. Seguiteremo a chiamare cono- 

 hessiano e piano-hessiano le superficie che fanno parte dell'hessiana. 



« Intanto : tutti i punti del piano-hessiano sono doppi, ma la loro qua- 

 drica polare si spezzerà ancora in due piani ? Il ragionamento che in gene- 

 rale si fa per dimostrare che la quadrica polare di un punto doppio dell'hes- 

 siana si spezza in due piani, non è più valido ; giacché fondandosi sulla pro- 

 prietà che il piano polare di un punto dell'hessiana la tocca nel punto cor- 

 rispondente, nel caso generale si dice così : Se il punto doppio è conico, o anche 

 biplanare abbiamo in esso almeno due piani tangenti distinti ; per conseguenza 

 la quadrica polare del loro punto comune di contatto deve avere almeno due 

 punti doppi distinti e quindi infiniti cioè spezzarsi in due piani. Se il punto 

 è invece uniplanare, dei piani tangenti all'hessiana in esso ve n'è uno solo, 

 dunque non si può concludere altro che la quadrica polare avrà un punto 

 doppio almeno. Ora nel nostro caso tutti i punti del piano hessiano sono 

 uniplanari. Dunque la dimostrazione che si fa in generale, applicata a questo 

 caso, lascia incertezza. Questa incertezza si toglie osservando che se per tutti 

 accadesse che la quadrica polare si spezzasse in due piani : la superficie fon- 

 damentale possederebbe infiniti punti di Eckardt cioè tutti quelli dovuti alla 

 sezione di essa col piano hessiano e quindi infinite terne di rette uscenti da 

 quei punti, la superficie sarebbe rigata e quindi non esisterebbero superficie 

 Rendiconti. 1890, Vol. VI, 2° Sem. 9 



