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cubiche di quinta, o sesta classe con un punto uniplanare. Invece tali super- 

 ficie sono ben note, nè sono rigate perchè allora la classe è tre. 



« Dunque non tutti i punti del piano hessiano hanno la quadrica polare 

 che si spezzi in due piani. Ciò che non esclude come non ve ne possa 

 essere un certo gruppo per cui questo accada. E che un tal gruppo vi sia 



10 prova il seguente fatto. La quadrica polare del vertice del cono-hessiano 

 è costituita dal piano-hessiano contato due volte, dunque i coni polari dei 

 punti di una retta di questo piano-hessiano hanno tutti il vertice nel vertice 

 del cono-hessiano : tutti non potranno spezzarsi perchè la retta scelta è qua- 

 lunque, per conseguenza dovendo costituire un fascio e avendo il vertice a 

 comune soltanto tre coni del fascio si spezzeranno; dunque su di una retta 

 qualunque del piano-hessiano esistono 3 punti tali che le loro quadricho 

 polari si spezzano. 



Perciò il luogo di questi punti è una cubica C. Si vede facilmente che 

 essa ha un punto doppio nel vertice del cono-hessiano, e per tangenti nodali 

 le generatrici di questo cono che stanno nel piano-hessiano. Le quadriche 

 polari dei punti di questa cubica si tagliano lungo le generatrici del cono- 

 hessiano. La sezione del piano-hessiano sulla superficie fondamentale è costi- 

 tuita da tre rette uscenti dal punto uniplanare (vertice del cono hessiano). 

 Ognuna di esse incontra quindi la cubica C in un sol punto (di Eckardt) all' in- 

 fuori del vertice del cono-hessiano. 



« Possiamo così riassumere i seguenti risultati : 



«Quando l'hessiana degenere di una superficie cubica 

 consiste di un cono quadrico e di un piano contato due volte, 



11 luogo dei punti le cui quadriche polari si spezzano in 

 coppie di piani è una curva del terz'ordine situata sul piano- 

 hessiano. Essa è contemporaneamente il luogo dei vertici 

 dei coni polari dei punti che appartengono al cono-hessiano; 

 il vertice di questo cono ne è un punto doppio, e le tangenti 

 nodali sono le due generatrici del cono-hessiano secondo le 

 quali esso è tagliato dal piano-hessiano. I punti di queste 

 generatrici speciali si corrispondono come quelli di due 

 rette sopranumerarie coniugate. 



«La superficie fondamentale possiede tre punti di 

 Eckardt. Ogni superficie cubica con un punto doppio unipla- 

 nare è trasformabile proiettivamente in superficie simmetrica. 



« 10. Gli esempi relativi ai due casi trattati fin qui si possono togliere 

 dalle superficie simmetriche rispetto a tre piani. 



« L'equazione : 



A(«r 3 — 3xs 2 ) r$s ayix 1 -f z 1 ) -f- fìf -f su 3 = 0 

 dove X, a, /?, s sono cost e il tetraedro fondamentale è costituito da un si- 

 stema cartesiano ortogonale e dal piano all'infinito u = 0 ; rappresenta una 



