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in oo r rette di Y n che generano in generale uno spazio algebrico oo r+1 . I 

 punti Xì = ^iXì ìu -\~ — h K+\ <£; (r+1> son portati dalle omografie del fascio 

 nei punti ìJì = 2 }i (a ih + Abiu) (^1 %h u1 + K+\ %k (r+1) ) '■ risolvendo rispetto 

 a X si ha 



, _ Vi — 2* a,M (A t x M m H h x h {r+ì) ) , . _ 1 , ^ 



(/i «tft -j "T- A r +1 %k ) 



sicché uguagliando i 2 i membri si ottengono tutte le yt legate linearmente 

 p. e. aliaci con coefficienti di 2° grado in À ì , ì. r+ì ; segando quindi questo 

 spazio algebrico oo r+1 con la F,,-,--, data da y t — 0 , ... , y r +\ = 0 , si otten- 

 gono r equazioni omogenee di 2° grado in l x , ... , ?. r+1 , sicché l'intersezione è 

 costituita da 2 r punti. Dunque : 



« Agli P r corrispondono oo r rette del complesso C in I"„ 

 generanti in generale spazi algebrici razionali oo r+1 d'ordine 2'". 

 Ossia : 



fi punti d'un F r sono trasformati in generale dalle omo- 

 grafie del fascio nelle generatrici d'uno spazio algebrico co r+1 

 razionale rigato d'ordine 2 r in F' n . 



« Invertendo le relazioni : 



y% = 2n (a iu + M lh )z h , 



si trova che un punto di F' M in generale è trasformato dalle inverse delle 

 omografìe d'un fascio nei punti di una linea razionale d'ordine n in F„ , ed 

 un punto d'un F' r base è trasformato in una linea razionale d'ordine r della F r 

 base corrispondente (poiché fra due spazi base vi è un fascio subordinato di 

 omografie), dunque: 



«Un punto di F' n è trasformato dalle inverse delle omo- 

 grafie d'un fascio cheha due gruppi base semplici di a spazi 

 ciascuno, nei punti d'una linea razionale d'ordine a — 1 ap- 

 partenente ad un Fa-!. E quindi: 



«Ai raggi d'un cono complesso C corrispondono i punti 

 d'una linea razionale d'ordine a — 1 appartenente adunF 0 _i. 



« Ai raggi del complesso C che si appoggiano ad un F' r 

 corrispondono i punti di oo r linee razionali, d'ordine <i — 1, 

 appartenenti ciascuna ad una F^ in F H . 



«Ne segue in particolare che: La condizione necessaria e suf- 

 ficiente affinchè le inverse delle omografie diun fascio for- 

 mino un fascio, è che in F„ , ¥'„ si abbiano rispettivamente 

 due soli spazi di punti base. Allora il complesso C siriduce 

 ad un sistema oo' 1 - 1 di rette, e per ogni punto di F' n passa uno 

 ad un sol raggio del sistema. 



