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- Nel sistema polare II, ai piani singolari tti , 7r lt , n ik i ) innp corrispon- 

 dono rispettivamente i punti singolari 0 , Oj ft , O w (8). La involuzione I,-,,- si 

 ottiene applicando una volta ciascuno dei sistemi polari //; , 77,,. 



» 10. Due piani singolari qualunque, tt ì1; i , mnp , tt ( , hanno sempre co- 

 muni due punti singolari, Ou, 0 I;l . gli altri otto punti singolari, 0,0,,/, 

 Of m , Oi,i , Oi p , O mn , 0„ p , 0 Fm , ciascuno contenuto in uno dei due piani, sono 

 vertici di un ottagono che indicheremo con la lettera T. Lo stesso ottagono 

 si ottiene nello stesso modo partendo da ciascuna delle altre tre coppie di 

 piani 7T il;m , npl , 7i m ; n iìln , plm , n n ; n ilìp , lmn , n p . Gli ottagoni T sono dunque 

 Ui f ± - . 7 = 30 . Se escludiamo i vertici di un ottagono T, per esempio 0, 0% , 

 Oim , O ln , O lp , O mn , O np , 0 pi)l , i rimanenti otto punti singolari, O u , O im , O in , 

 Oi P , Oftf , Oft OT , OfaijOftp, sono vertici di un altro ottagono T che chiame- 

 remo coniugalo al primo. 



« Ogni ottagono T è fornito da quattro coppie di piani singolari. Ora i 

 piani di una coppia incontrano quelli di un'altra secondo i lati di un qua- 

 drilatero gobbo q, si hanno dunque così sei quadrilateri q. ciascuno dei quali 

 contiene i vertici dell'ottagono T. Gli otto piani rr m t mnp , 7r< ; n iìm . n pi , n m ', 

 Kikn , pim , rr n ; tt i!:v t lmn , ir p si possono avere come i vertici di T, prendendo 

 cioè quei piani singolari che contengono uno solo di due punti singolari 0, 

 0,7,-. I detti otto piani sono le facce di un ottaedro che indicheremo con la 

 lettera r, di ottaedri x ve ne sono trenta, due che insieme contengono tutti 

 i piani singolari li diremo coniugali. Le facce di un ottaedro z passano due 

 a due per i lati dei quadrilateri q. Se T 1 ! , T 2 sono due ottagoni coniugati, 

 sono coniugati anche gli ottaedri z\ , r 2 rispettivamente costituiti dalle quattro 

 coppie di piani singolari che forniscono T\ , IV 



« Evidentemente con un sistema polare nullo II da un ottagono T si deve 

 ottenere un ottaedro r, e viceversa ; con una involuzione I da un ottagono T 

 si deve ottenere un ottagono T e da un ottaedro / ancora un ottaedro r. In 

 particolare per i due ottagoni e per i due ottaedri coniugati Ti , T 2 e t\ , r 2 , 

 che abbiamo prima considerato, si trova che i sistemi nulli ìli , Jl k trasfor- 

 mano Ti in io e T 2 in ? , , mentre III , TI, n , U„ , H p trasformano Ti in r, e 

 To in t 2 , per cui le sette involuzioni I iu , h M , Ibi ■ hp , lmn , l mp , I« P tra- 

 sformano T x , ri in Ti , % y e T 2 , t 2 in T 2 , r 2 , le altre otto trasformano invece 

 T t , ri in T 2 , r 2 . 



« 11. Ad un piano qualunque ri di S' corrisponde in S una super- 

 fìcie del 4° ordine (/(')• Una corda della o ha un solo punto comune con ri. 

 dunque una retta per 0 ha un solo punto variabile comune con la </> ed 0 

 è triplo per essa. Una cubica che passa per 0\ , 0' m , 0' n , 0' p ed ha per 

 corda la o' ( , ; ha tre punti comuni con ri, dunque una retta per 0j/ ( ha tre 



(') L. c. n. 11, I. 



