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Chiamerò le X rs i coefficienti della deformazione e se si pone 



2#rs,i = Uri ~ \~ Usi &rs * ^rs,i == ~ \~ ^-si ^rs 



m l i v / v 



Uhk,lm — dhl.k — «/»»,?; -f- C;j {(ti im ,i &kl,j — &hl,i &ltm,j) 



Ahk,lm = ^W,» %hm,k + ^ii Cij ((lhm,i ^M,j~i~ #W,i ^hm,j Clhl,i ^km,j 0,km,i ^hl,j) 



ho dimostrato nella citata Nota che condizione necessaria e sufficiente, per- 

 chè le sieno coefficienti di una deformazione infinitesima, è che esse sod- 

 disfacciano alle equazioni a derivate parziali del secondo ordine 



(4) Ks,uv = 0 



che si riducono a sei sole, perchè fra le Ks,™ hanno luogo le relazioni 



^■rr,ux ' — ' 0 5 ^hk,lm == ^lm,hk :== '^kh,hn ==: ^hk,ml 



« Al potenziale di elasticità di un corpo omogeneo ed isotropo si può 

 dare la forma 



2/7 = A<> 2 — B0, 



ove A e B sono due costanti e 0 invarianti assoluti comuni alle due forme 

 2a rs dx r dx s , 2k rs dx r dx s sono dati dalle formule 



Cu 



intendendo di sostituire nell'ultima somma agli indici maggiori di 3 il resto 

 della loro divisione per 3. 



« Se si pone A h1i = — -jr— si ottiene con facili riduzioni 



(5) # (B — 3A) = 2a m A hk 



f*\ 2 2A ~ B a 2 v a 



(DJ /.7!ft = g ^Cthk — g~ ■*rs Uhr 0>ks J±rs • 



Mediante queste relazioni si possono eliminare dalle (4) le X m e così trovare 

 le equazioni differenziali cui debbono soddisfare le A rs , in funzione delle 

 quali quantità il Beltrami (') ha insegnato ad esprimere le componenti delle 

 tensioni, che si esercitano sopra gli elementi piani tangenti alle superficie 

 coordinate, che passano per quel punto. Egli ha infatti provato che, se con 

 Ki , K 2 , K 3 si indicano le componenti della tensione esercitata sopra l'ele- 

 mento tangente alla superficie coordinata k = cosi, che passa per P e valu- 

 tate secondo le linee coordinate corrispondenti, si ha 



(7) K 1= =A lS l/^-, E, = A»l/^, K 3 = A 3 ,l/^. 



\ Cnk \ Cnk X c kli 



(!) Vedasi E. Beltrami, Sull'uso delle coordinate curvilinee nelle teorie del poten- 

 ziale e dell'elasticità. Accad. di Bologna. Serie 4. a Tomo VI. 



