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Matematica. — Di alcune forinole relative alla teoria delle 

 superficie. Nota di Vincenzo Reina, presentata dal Socio L. Cremona. 



« 1. Se le coordinate dei punti di una superficie sono espresse in fun- 

 zione di due parametri uv, e si indicano con XTZ i coseni di direzione della 

 normale alla superficie nel punto {xijz), con EFG i coefficienti dell'elemento 

 lineare, con LMN le quantità definite dalle espressioni 



~ÒW ~òu ~òv ~òv 2 



si hanno, come è noto, le relazioni 



e le due analoghe in Y e Z, le quali legano le derivate parziali dei coseni 

 di direzione della normale, prese rispetto ai parametri, a quelle delle coor- 

 dinate del suo piede. 



« La curvatura normale e la torsione geodetica nella direzione definita 

 dagli incrementi du dv, dati ai parametri uv, sono definite dalle forinole 

 J_ _ L du 2 H- 2M du dv -f- N dv* 

 g '~ftdu 2 -h 2Fdudv^-Gdv z ' 



1_ _ (EM — FL) du* (EN — GL) du dv -4- (FN — GM) dv 2 

 * ~ |/EG — F 2 (E du % + 2F dudv + G dv 2 ) 



Facendo successivamente dv — 0 , du — 0, si ottengono i valori che questi 

 elementi assumono nelle direzioni delle linee u, v rispettivamente, cioè: 

 ... 1 L 1 FL — EM 1 N 1 GM — FN 



Qu E t w Ej/EG — F 2 G ' z v G|/EG — F 2 



D'altra parte, indicando con « l'angolo compreso fra le linee coordinate uv, 

 si ha: 



F f/EG — F 2 , yEG — F 2 



(3) cos o) — — , sen w — J — -= — , tg « — - 



t/EG' j/EG ' ° F 



mentre la quantità M riesce espressa dalle equazioni ('): 



(4) M = ^ÈG ( C -^ - ^ = t/EG ( ^ + ^) 



(!) Cfr. le mie Note, Sulle linee coniugate di iena superficie. Eendic. della E. Acc. 

 d. Lincei. Voi. VI, pp. 156-165; 203-209. 



