Se dalle (1), col sussidio delle (2) (3) (4), si eliminano le quantità EFGLMN, 

 e si indicano con cos «„ cos /?„ cos y u e con cos a v cos /?„ cos y. c i coseni di 

 direzione delle linee u e delle linee v, con ds u e ds v i loro elementi lineari, 

 si ottengono le relazioni 



~àX cos a H 1 cos a v — cos co cos «,« 



( "Ss», P m t m sen co 



(5) ì 



v 7 ( 7)X cos a„ 1 cos a u — cos co cos 



| Ds v Q v r v sen co 



nei secondi membri delle quali non figurano più che elementi aventi signi- 

 ficato geometrico. 



« Queste relazioni non differiscono che per un lieve mutamento di forma 

 da quelle stabilite da Chelini, nel § 40 della sua Teoria delle coordinate 

 curvilinee nello spazio e nelle superficie. Si può però introdurre in esse una 

 ulteriore semplificazione. Si conducano nel piano tangente nel punto uv della 

 superficie due rette normali alle linee u e v rispettivamente, e si consideri 

 la prima diretta da quella parte verso cui cresce il parametro y, la seconda 

 dalla parte verso cui cresce il parametro u. Indicando con cos tu cos *,„ cos 'Q H 

 i coseni di direzione della prima retta, con cos cos ??„ cos f„ quelli della 

 seconda, si avranno le relazioni 



cos a v — cos co cos a u _ v cos a u — cos co cos a„ 



cos § u = , cos $ v 



seti o) sen co 



insieme alle analoghe, da queste deducibili colla permutazione circolare delle 

 lettere, e le (5) assumeranno la forma : 



| 2|X cos <x u cos gg 



( ~à<>u Qu T u 



' ( 7)X cos a„ cos 



« 2. Quadrando ognuna delle (6), ed aggiungendo i quadrati delle equa- 

 zioni analoghe in Y e Z, si ottengono le relazioni 



(7) 



(-+-.) 



G' = G 



dove con E' G' si intendono il primo ed il terzo coefficiente, nella espressione 

 dell' elemento lineare sferico. Moltiplicando invece membro a membro le tre 

 coppie di equazioni, rappresentate dal gruppo (6) e sommando, si ottiene 



(7) F = tfm \ cosco (— + -i- j + sen co (— — — ) ì ■ 



\ \Qu Qv Tu T v / \Qu T v Q v X U J J 



Queste relazioni, fra i coefficienti dell'elemento lineare della data super- 

 ficie, ed i coefficienti dell'elemento lineare sferico, le quali sono valide in ogni 



