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caso, si semplificano notevolmente quando venga specializzata la natura delle 

 linee coordinate. 



i Se le linee coordinate formano un doppio sistema coniugato, si ha, 

 indicando con Sì l'angolo da esse compreso : 



(8) tgi2=-^=--^. 



Qu Qv 



e le (7) diventano 



(9) = — -!— , F=r— 



q u 2 sen 2 Si ' q v 2 sen 2 Si ' q u q v sen 2 Si 



sicché il quadrato dell'elemento lineare sferico si presenta sotto la forma 



1 / E F G \ 



d ff2 — " — tt, ( —?du 2 — 2 du dv -+- — dv 2 ] . 



sen 2 Sì \q u * q u o v q v 2 / 



Osservando che si ha (v. le mie note su citate) 



(10) q u sen 2 Sì — r u q v sen 2 Sì = r v (>« r„ — q v r u = (>! p 2 



dove con r„ r„ si intendono le ascisse delle minime distanze fra due normali 

 consecutive, prese nella direzione della linea u e della linea v rispettivamente, 

 con Qi (>i i due raggi di curvatura principali della superficie, esso potrà anche 

 scriversi 



E F G 



da 2 -- du 2 — 2 du dv -+- dv 2 . 



« Se le linee coordinate formano un doppio sistema anticoniugato, sono 

 cioè tali che la linea dell'un sistema, passante per un punto, ha la direzione 

 coniugata della simmetrica della linea dell'altro sistema, rispetto alle linee 

 di curvatura, indicando ancora con Sì l'angolo compreso fra le due direzioni 

 coniugate, si avrà : 



Qu Qu 



E Gr F 



(11) E' — 2 , G' = , F' 



Q u 2 sen 2 Si ' q v * sen 2 Si ' q u q v sen 2 Si 



e il quadrato dell'elemento lineare sferico assumerà la forma 



E F sL G 

 rfo -2 = du 2 -f- 2 ■ du dv -+- dv 2 . 



QuT u QxQì Q v r v 



Dalle (9) e dalle (11) risulta la nota proprietà che la inclinazione fra le 

 linee dei doppi sistemi coniugati, e quella fra le linee dei doppi sistemi anti- 

 coniugati, rimangono conservate, nella rappresentazione sferica. 



« Se la superficie, supposta a curvatura negativa, è riferita alle sue linee 

 asintotiche, le (7) diventano 



E G F 



E' - 4 , Gr'—nr, F' = 



T u T v T u T v 



Kendiconti. 1890, Vol. VI, 2° Sem. 15 



