— 106 — 



e poiché t u = — t v , e pel teorema di Enneper si ha r„ 2 — — p, Qu il quadrato 



dell'elemento lineare sferico si riduce alla forma 



Edu 2 — 2Vdudv + Gdv 2 

 da* = — ■ • 



" 3. Nell'ipotesi che la superficie sia riferita ad un doppio sistema di linee 

 coniugate, si possono dare alle (6) altre forme notevoli. 



« Eliminando da esse x u t v per mezzo delle (8), e riponendo per cos£ M 



cos £ v i loro valori 



cos f<- ? . — cos Sì eos «„ . cos a„ — cos Sì cos 



(a) cos £„ — , cos? „ = > 



sen Sì sen Si 



si ottengono le equazioni 



7>X 1 . _ . 



— = — — (cos C( u — cos Sì cos a r ) , 



1)S U Qu sen 2 Sì ' 



(b) 



= — — (COS a v — COS Sì COS a u ) . 



Hs v q v sen 2 fi v ; ' 



le quali si possono anche scrivere 



I 7>X 1 /Ha; 



I — - - — — I cos Sì — ) , 



| ~<>s u r u XìSu ~òs v J 



(12) ( DX 1 /~òx n Hx\ 

 I — - — — I — — cos Sì — ) 



~òS v T v \~òS v ~òS u f 



a Se invece al posto dei binomi, che figurano nei secondi membri delle (b), 

 si sostituiscono i loro valori ricavati dalle (a), le equazioni da noi conside- 

 rate si ridurranno alla forma monomio, 



~òX _ cos ' ìX _ cos 



Hs u q u sen Sì ' ~òs v q v sen Sì ' 



ossia indicando con n u e con n v gli elementi normali alle linee u e v rispet- 

 tivamente, condotti nel senso precedentemente dichiarato come positivo, si avrà 



(13) 2^ sen.fi ~èx ^X sen Sì ~òx 



~òs u t u ~~òn v ~òSk t v ~òn n 



* Più generalmente, indicando con ds ds c due elementi coniugati, uscenti 



dal punto considerato della superficie, con f ed r c i valori dell'ascissa r ad 



essi relativi, con dn dn e gli elementi ad essi normali (condotti nel senso 



positivo), le (12) (13) potranno scriversi 



I ~òX 1 ("òse n Hx\ 



i — - = 1 — — cos.fi — r 



\ ~òs r \Ds ~òs c ! 



I ~ — — I — COS Sì ) ; 



I Hs c r c \~iSc Hs / 



| ìX _ seri Sì Hx 

 ( ~òs r ~òn c 



^ ' i ìX_ aeuSÌ 1x 



