





7>Z 



~ÒX 



1)X 



hZ 



Da? 







-z 



DZ 







% 



x«- 



1)3 



^DY 



^d7 h 



-z 



DZ 



— 108 — 



e le analoghe, deducibili da queste colla permutazione circolare delle lettere. 



7)X ~òY 



Quadrando e sommando le precedenti equazioni, e notando che si ha — =— ecc. 



1)1/ oX 



si otterrà : 



à x X cos 2 a„ + i,Y cos 2 p u + i,Z cos 2 y n 4- 2// 1 (YZ) cos /?„ cos fu 



4- 2^/, (ZX) cos /„ cos a M 4- 2Jx (XY) cos or„ cos 0» = "^7 4-^ ■ 



» Scrivendo l'equazione analoga relativa ad una direzione ortogonale v 

 e sommando, si ha 



(1— XV, X + (1 — Y z )4i Y -f- (1— 7J)J, Z — 2YZJ X (YZ) 



- 2ZX^ (ZX) - ZZ.YA (XY) * + * ^ * + Jy., 



Vif 'ti '•e 



« Ma d'altra parte, quadrando e sommando le relazioni identiche 



0, 



l ÙX ÒX ox 



1 -nV "\ r / 



(17) 



si ottiene 



X 2 ^,X 4- Y 2 ^,Y 4- Z^/,Z -h 2YZ^(YZ) 4- 2ZX^(ZX) 4- 2XY^(XY) = 0, 

 sicché la precedente si ridurrà alla forma 



Qu Qv tu 



« Il valore del primo membro è indipendente dalla orientazione della 

 coppia considerata di direzioni ortogonali : se quindi si suppone che queste 

 coincidano colle direzioni principali, si otterrà 



(18) J 1 X-hJ l Y-hJ 1 Z = ~ -f • 



Ci Qz 



* La combinazione dei due raggi di curvatura principali, che qui si pre- 

 senta nel secondo membro, fatta astrazione dal fattore , è quella che dal 

 prof. Casorati viene assunta come misura della curvatura della superficie. Di 

 essa si può dare un'altra espressione, avendo riguardo alla relazione identica 



iJ + ^T + ^Z + X^X + YiJ + Z^Z = 0 , 

 che si ottiene derivando le (17) rispetto ad x y s rispettivamente e sommando. 

 Si ottiene cioè : 



(18)' — (XJ 2 X + UI + Z^ 2 Z) = \~h^-. 



» 5. Un'altra notevole espressione, per la curvatura Gaussiana, si può 

 ottenere nel seguente modo: Supponendo la direzione u, nelle (16), coinci- 



