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« Se noi sostituiamo, nelle citate relazioni xi in luogo di Q x (A), le trasfor- 

 meremo nelle altre 



(1) -/tt 0 2 + ^ + ^V = 0; — x 0 2 -hkx 1 2 ~hk'x 3 2 = 0. 



« Quando x 0 x x x 2 x 3 s interpretino come coordinate proiettive di un 

 punto dello spazio, le (1) rappresentano una curva gobba di IV ordine 

 e I specie il cui invariante assoluto vale k 2 . Ora si sa che la condizione 

 necessaria e sufficiente affinchè due curve di tal fatta si possano corrispon- 

 dere punto a punto in una projettività è che esse abbiano il medesimo inva- 

 riante assoluto. Perciò qualsivoglia linea sghemba di IV ordine e I specie 

 il cui invariante assoluto valga k 2 è suscettibile della seguente rappresenta- 

 zione parametriea 



Q Xi = 7 aij Oj (X) (i = 0,1,2,3). 



3=0 



« Se poi si prendono come punti fondamentali i centri A 0 A x A 2 A 3 dei 

 coni su cui sta la curva e si sceglie in posizione opportuna il punto unità 

 si potrà porre più semplicemente 



(2) qx i = e i {l) ('). 



« Queste relazioni dimostrano esistere un' intima connessione fra le fun- 

 zioni Jacobiane e le quartiche gobbe di genere 1, la quale può essere utiliz- 

 zata per ottenere e dimostrare le proprietà di queste curve ( 2 ). 



« 2. Chiameremo per brevità punto a quel punto della curva che cor- 

 risponde al valore a dell'indeterminata (parametro) l. Siccome tutte le fun- 

 zioni Jacobiane hanno per periodo 4K e riescono moltiplicate per un medesimo 

 fattore quando l si aumenta di iiK', così più generalmente chiameremo 

 punto a quello pel quale è 2 = « + 4m'K -f- 4m'iK', ove m e m' sono nu- 

 meri interi, positivi, nulli o negativi. Quando invece a si cambia rispettiva- 

 mente in: —a ~h 2 iE7, —a, — a-j-2K, — a + 2K 4- 2 iK', a + 2?K\ 

 a -f- 2K -!- 2 i~K\ a + 2K, le quattro funzioni Jacobiane si riproducono a 

 meno del segno e a meno di un fattore comune a tutte. È privo di interesse 

 per noi tener conto del valore che ha in ogni caso questo fattore, ma invece è 

 importante avere presente che la variazione nei segni, perchè da essa si 

 desume l'esistenza di sette trasformazioni proiettive involutorie della curva 

 in sè stessa : quattro di esse sono le omologie armoniche i cui centri sono 

 i punti Ai e i cui piani sono quelli che essi determinano tre a tre; le altre 



(*) È facile vedere che la condizione K log q<^0 non produce alcuna limitazione per Ti 1 . 



( 2 ) Le formole che invocheremo furono dimostrate da Jacohi in alcune lezioni che 

 vennero redatte da Borchardt e pubblicate sotto il titolo Theorie der elliptischen Functio- 

 nen aus den Eigenschaften der Tlietareihen abgeleitet nel T. I (1881) dei Gesammelte 

 Werke di Jacobi. V. anche Briot et Bouquet Théorie des Fonctions elliptiques II Édition 

 (1875), livre VII, chap. I. 



