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« Ora addizionando le quattro equazioni seguenti (') 



0 O («) HP) Mr) W + W) H tt ) W) Ur) 



= W) 6,(0') e 8 («') e 3 (p) - e 0 (ó') 6,( Y ') e 2 (/? f ) 0 3 («') 

 o 0 (y) e,(ó) e 2 (a) d 3 (ì) + <?„((*) e^y) 0^) &,(«) 



= e„(/) 0^') e 2 («') e 3 (/5') + e Q (ó') e,( Y ') e 2 (/S') <?,(«') 

 —»,(«) ^(/S) d s (<r) e 8 ( y ) - e 0 (/?) ^(a) e 2 ( y ) 0 3 (<O 



=— *<>(/) 0,(0') o 2 ((i') e 3 (cc') + e 0 (J') 6,(/) e 2 (a') 6 3 (p') 



—6 0 (y) 6,(0) O t (fi) 6 3 (a) — 6 0 (ó) 6,(y) 6 2 (a) 6 3 ( ( 3) 



=-v 0 (y') M<0 W) - 6 °( ó ') Ur) W) 



si conclude 



(4) 7 ' Y*l = 20 o(/) *i(<Q J 0 2 («') W) - W) 0 3 («') | ; 

 similmente (4)« \jy , «<T| = 2fl 0 («') 0i(<H j 0 2 (/O 0 3 (/) — «,(/) W) | 



e (4)p [ya , /M] = 2(9 0 (/*') H#) \ Uf) U«) ~ U<*') W) \ ; 



epperò 



(5) D - 26, (<T) 2^6 0 («') 0 2 (/?') 0 3 (/) . 



Ciò posto, quando a-L-/?-r-y-r-J = 0 (mod. 4K e 4 iK') è ó r = 0 (mod. 2K 

 e 2 /K') epperò #i(<3") = 0 ; in tale caso risulta D=0, come si era già dimo- 

 strato, e si annullano separatamente le tre funzioni [/?y , acT] , [y« , /?<T] , 

 [«/? , yJ] di cui D è la somma. 



« 4. La relazione (3) è di grande importanza per la facilità con cui si pos- 

 sono desumere col suo mezzo molte proprietà della curva ( 2 ). Noto ad esem- 

 pio le seguenti : 



I. Tutte le coppie di punti della curva i cui parametri dànno una 

 somma costante 20 appartengono a una schiera rigata, la cui conjugata cor- 

 risponde alla costante — 2C ; ogni schiera contiene quattro tangenti della 

 curva ; al variare di C si ottengono in tal modo le infinite quàdriche conte- 

 nenti la data curva. 



II. I piani osculatori alla curva in quattro punti di un piano, tagliano 

 la curva in quattro punti di un altro piano. 



III. La curva ha 16 piani stazionari ; i punti di contatto sono tali 

 che 4A = 0 (mod. 4K e A iK'). Le espressioni delle coordinate di questi punti 

 si ottengono dalle (2) e rivelano che questi punti stanno quattro a quattro nelle 

 facce del tetraedro A 0 A! À 2 A 3 e determinano ivi un quadrangolo i cui punti 

 diagonali sono i relativi punti A. 



« 5. La (3) prova pure che per una corda della curva passano quattro piani 



(') La prima di esse è la (11) del quadro (A) che si trova a p. 507 dei Ges. Werke 

 di Jacobi ; le altre ne derivano con opportuni scambii delle «, [3, y, ef. 



( 2 ) La dimostrazione sintetica di queste e delle altre proprietà della curva si trova 

 nell'opuscolo dello Schroter Grunclzilge einer geometrischer Theorie der Raumkurve vier- 

 ter Orinung erster Species (Leipzig 1890), al quale rimandiamo il lettore anche per molte 

 notizie bibliografiche concernenti le linee che stiamo studiando. 



