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10 darò le equazioni di queste superfìcie e mostrerò come la specializzazione 

 del connesso nella distribuzione delle sue varietà di punti fa acquistare alla 

 superfìcie un punto triplo ; il che mi condurrà anche a considerare una super- 

 fìcie del 5° ordine con una retta tripla e quattordici rette semplici. 



« Accanto alle proprietà precedenti io ne ottengo altre che rientrano in 

 un altro ordine di idee ; vale a dire togliendo a certe funzioni che, come si 

 vedrà, sono covarianti della superfìcie, il loro significato geometrico, si hanno 

 determinanti cubici spezzabili in fattori lineari, e quindi si ha una proposizione 

 sui determinanti che potrebbe enunciarsi anche con maggiore generalità visto 

 che le cose procederebbero addirittura allo stesso modo quando a certe fun- 

 zioni lineari si sostituissero funzioni di grado qualunque. 



« In fine, io costruisco, e ne dò le formule, una corrispondenza mul- 

 tipla (1, 3) nella quale ai piani dello spazio triplo corrispondono nello spazio 

 semplice superfìcie del 5° ordine della specie di cui si discorre, e riserbo ad 

 altra occasione di dimostrare la proposizione che tali superfìcie possono pro- 

 venire in cinque modi diversi come luogo dei punti comuni alle rette di 

 un sistema (3, 1) ed ai piani di una stella proiettivamente riferito a quel 

 sistema. 



§ I- 



Formule della rappresentazione. Coordinate delle 10 rette. 



« 1. Siano rispettivamente 



(a) = A, w a -f- X 2 u$ ■+- X 3 = 0 (1) 



(ff') = Ai!? a H- X 2 U$r-+- X 3 -11^= 0 (2) 



(S) =X lPx -h X 2 q x + X 3 r x = 0 (3) 



4 4 



ove itu. = ]T fa Ui = «, p, y'; a', p' /), t x =.^_ti x% (t =p, q, r) le equa- 

 i i 



zioni di due reti (ff), (V) di punti e di una rete (S) di piani riferite fra 

 loro proiettivamente due a due, sicché siano corrispondenti quegli elementi 

 di (ff), (ff'), (S) che sono dati dalle precedenti equazioni per uno stesso si- 

 stema di valori delle X x , A 2 , X 3 . 

 *■ Se si pone 



Di = X 1 a i -{- X 2 fa -\-X 3 yi , y\ = X x a\ + X 2 fa -j- X 3 y\ 

 (i=h 2, 3, 4) 



11 punto Si = Qyi-hg'y'i apparterrà alla superfìcie se, per x = z , è soddisfatta 

 l'equazione (3). Ora, essendo 



tz = Qty + Qt y < = q (Ai t a ~h X 2 /fi + X 3 fy) -f- q' (X x ta' H~ X 2 t$> 4" X 3 t^) 



4 



(t=p,q,r); t^ = ti [*i ([* = a, p, y ; /) 



