che sono nel medesimo tempo piani singolari del sistema di rette Sì, e costi- 

 tuiscono una delle cinque sviluppabili dei piani bitangenti della superficie : 

 diremo r tale sviluppabile. 



« Le quadriche del connesso sono gli iperboloidi sui quali sono distese 

 le schiere rigate di Sì, i piani sono i piani della stella (S). 



« Il connesso fa corrispondere a tutti i punti x- L -+- 0 (pqr)i (0 parar 

 metro variabile) un medesimo iperboloide, e ciò per le identità (ppqr) = 

 (pqqr) — (pqrr)= 0 . 11 connesso pone dunque in corrispondenza le rette di (S) 

 con gli iperboloidi inscritti in T: questa corrispondenza è proiettiva, e la 

 superficie del 5° ordine si presenta come luogo dei punti comuni alle rette 

 di (S) ed agli iperboloidi corrispondenti. L'equazione della superficie si ottiene 

 dunque scrivendo la (5) in coordinate di punti. 



* Indicando con y- t le coordinate di un punto dell'iperboloide corrispon- 

 dente al punto Xi , ponendo 



«ìs = 2 (f iì{ — f' iH ) , p ik = 2' (g ik — g' ih ) , y ik ~2(e ik — e'i») 



(i,k=l, 2, 3, 4) 



ed indicando con A ik il sub-determinante complementare dell' elemento 



"(Ti px ■+■ Pili qx -+- Ym t x nel determinante | cc ik p x -f- § m q x -+- y m r x | , si avrà 

 per equazione di queir iperboloide 



Zi* A iH Vi Un = 0 , 

 epperò l'equazione della superficie sarà : 



2ii Am Xi x k == 0 . 



« L'equazione 2 ik A ìk y t y k — 0 , quando vi si mantengono fisse le y e 

 variabili le x, rappresenta complessivamente i piani di (S) corrispondenti 

 alle tre rette di Sì uscenti dal punto yi . La funzione 2A ik y { y k è dunque 

 decomponibile nel prodotto di tre fattori lineari. Per formare la cubica 

 binaria da cui dipende tale decomposizione si osservi che due punti corri- 

 spondenti di (a), (a') saranno allineati col punto ?ji se è possibile per valori 

 di q far coesistere le equazioni : 



ttyi = (a< + ga'i) l x 4- (fc -j- Qpi) X 2 + (y, -f- q/ì) X 3 (7) 



Ora ciò esige che si abbia 



det. | y x , a 2 4- qu\ , p 3 -+- Qp' 3 , y 4 -f- oy\ \ = 0 



ovvero : 



(ympy) Th ! (?/«£>') + (yap'y) + (ya'fr) \g-h\ (yu'fi'y) + {ya'fr') + (yap'y') j ? »+ 



-+-(y«W? 3 = o. 



Questa è dunque l'equazione cubica richiesta. 



« Indicando con Xi w , X- L m , 2 ; (3) = 1, 2, 3) le terne di valori delle X 

 fornite dalle equazioni (7) quando in esse al posto di q si pongono successi- 

 vamente le radici della precedente equazione, si avrà identicamente 



2A ik y iyk = ìl(X^ p x + Xf q x + Xf r x ) (f== 1,2,3) . 

 i 



