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però le relazioni (2) (3) e (4) fra di loro sussisteranno sempre, come pure 

 saranno verificate le equazioni 



Xh(P, Q) = * h (Q, -p) 



H(P,Q,P\ Q') = H(P\ Q', P, Q) 

 (27) 0 (P + P', Q + Q') = 0 (P, Q) + 2H (P, Q , P\ Q') + 0 (P\ Q') . 

 Oltre a ciò 0 sarà sempre positiva. 

 « Le P e Q sono in numero di 



r— 2 — 2y? r+ 2 • 



Ogni qual volta esse soddisfaranno le 2n r+2 equazioni (25) e (26), avremo 

 verificate le condizioni di integrabilità ed esisterà quindi corrispondentemente 

 alle P e Q stesse una funzione <p -j- zip isogena alla F. 



« Denotiamo con r T (P,Q) il primo membro della (25) in cui T=/ 1 ...?' r -*- 2 . 

 Il primo membro della (26) sarà T T (Q , — P) • Ciò premesso dalla (27) segue 



! 0(P+P',Q+Q>S„= I 0(P,Q)dS„+2 j H(P,Q,P',Q')^S n + j 0(P',Q>S„, 



« Se supponiamo P' e Q' nulli al contorno S n _i di S„ , mediante una 

 integrazione per parti, come abbiamo eseguito nel § 8, otterremo 



0(P-fP',Q + Q/)dS n = j 0(P,Q)dS„ + 0 (P\ Q') dS n + 



+ ( Zi \ P'x' r T (Q , — P) — Q' T ' T T (P, Q) { dS n . 



« Questa formula conduce alla conseguenza che 0 (P, Q) per dati valori 

 delle P e Q al contorno sarà minimo quando saranno soddisfatte le equazioni 

 (28) r T (Q , — P) = 0 , r x (P,Q) = 0. 



« Le funzioni isogene ad una data possono quindi, come le ordinarie fun- 

 zioni di una variabile complessa, farsi corrispondere ad un problema di minimo. 



« È facile provare che, dati i valori delle P e Q al contorno, se esse 

 soddisfano le equazioni (28) le vs H e Xh restano determinate. Infatti mediante 

 le solite integrazioni per parti si proverebbe che se le P' e Q' e le P" e Q" 

 soddisfacessero alle dette condizioni e fossero respettivamente eguali fra loro 

 al contorno ; posto le P'— P"= F" e le Q — Q"= Q'" si avrebbe 



0 (P"\ Q'") dS n = 0 



's n 



e quindi 0 = 0; relazione che non può essere soddisfatta se oo£" e y'^' non 

 fossero nulle (vedi formula (5) ). 



« 12. Se supponiamo soddisfatte le condizioni (24), esisteranno le fun- 

 zioni (p -4- ifp , cp'-J- zip' isogene alla F e la equazione (20) potrà esser scritta 



(29) y d (v + U ^ d W) _ V d (»' — tip') d(W — i<t>) 

 d {xi) d (xv) d (x^) d (x^>) 



