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arbitrarlo M, gli si faccia corrispondere quel punto M' nel quale si tagliano 

 gli S„_ i polari tt 1 , tt 2 , , ... , rc n di M rispetto a quelle polarità. Fra M ed 

 M' verrà allora a porsi una corrispondenza cremoniana che si riconosce facil- 

 mente essere del grado n. 



« 2. Le varietà fi—O (1=1, 2 , ... , ri) si son supposte essere qua- 

 lunque, ma pel nostro scopo interessa che esse abbiano una piramide auto- 

 polare di n -J- 1 vertici in comune: allora la trasformazione considerata pos- 

 siede questi n -j- 1 vertici quali punti fondamentali, e, presi essi per punti 

 di riferimento, le formule della trasformazione avranno la forma : 



Hi = ai x } x 2 ... Xi-x x i+1 ... x n +i (i = 1, 2, ... , n-\~l) (1) 

 ove le Xi , ìji sono coordinate di punti corrispondenti e le 04 dello costanti. 



« 3. La trasformazione considerata non ha invarianti assoluti, poiché dette 

 iji = hi x x x 2 ... Xì-ì x i+l ... x»+i (i = 1, 2, ... , n -f- 1) 

 le formule di un'altra analoga trasformazione, la sostituzione 



g'i = /<, Zi (i = 1, 2, ... , n + 1) 

 applicata alla prima la cangia nell'altra 



fti yt ' — di 00\ 0C% ••• QC\— \ t€%-\-\ ... 



che è identica alla seconda trasformazione quando si prendono le pi in modo 

 che sia 



!-ii 2 = aib- 1 (i = 1, 2, ... , n -f- 1) 

 « 4. La trasformazione possiede 2" punti uniti. Le coordinate di questi 

 si ottengono dalle (1) facendo in esse le y uguali alle x. Si hanno dunque 

 per le coordinate di tali punti le formule 



Xi 2 = ai ($ = 1, 2, ... , n -|- 1). 

 « Questi punti non sono che quelli comuni alle /; = 0. 



« 5. Se nel n. 4 si suppone che la seconda trasformazione sia la stessa 

 prima si ha che la trasformazione considerata è mutata in sè stessa dalle 

 omografie 



si i= yn Zi (i = 1, 2, ... , 11 -f 1) 



per cui 



^=±1 (* = 1,2,..,m+1). 

 " Ma queste omografie non sono che le 2 n omografie involutorie che 

 hanno per spazi fondamentali due spazi opposti della piramide fondamentale 

 della trasformazione. Dunque, abbiamo già un gruppo lineare chiuso Gr, rispetto 

 al quale la trasformazione corrisponde a sè stessa. 



« 6. L'esistenza di questo gruppo lineare suggerisce l'idea di un primo 

 gruppo cremoniano n — pio composto di trasformazioni analoghe alla conside- 

 rata, e di trasformazioni lineari. In fatti, componendo la (1) coll'omografia 



z!^(-\) x ìzì 



ove Ti , r 2 , ... ,t„ +1 sono i numeri 1 e 2 presi un numero qualunque di volte 

 ciascuno ed in un ordine qualunque, si ha la corrispondenza: 



IJi = (— 1)** Cli X, Xz ... Xi-x sé-Ui - , 



