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Un'omografia qualunque 



» i = f-li Zi 



che abbia per («-f- l) pla fondamentale Y{n -f- l) pla fondamentale della (1) la 

 si trasformi con questa; verrà l'omografia 



1 



Si = —Zi 



che è l'inversa della data. Da ciò segue che un'omografia può, ed in infiniti 

 modi, nascere dal prodotto di due cremoniane di quella specie, poiché detta 

 Sì l'omografia e C una cremoniana arbitraria che abbia la sua piramide fon- 

 damentale nella piramide fondamentale di C, la relazione 



C.QC = Sì- 1 

 dà GSì = 9.-'G 



che mostra essere CSÌ involutoria. Ponendo perciò CSÌ = Ci , ne seguirà 



g = CCi 



ciò che prova l'asserto. 



« Supponendo la C essere quella data dalle (1), la Ci sarà data dalle 

 formule : 



Oj_ 



Vi X\ X% ... Xi— i Xi->r\ ... Xn-\-\ i 



Pi 



e quindi, considerando successivamente le C 2 = CSI 2 , C 3 = CSÌ 3 ,.. , C m = GSl m , 

 queste saranno successivamente date da 



__ Oi_ , Oi_ t 



Vi 9 X\ X% ... Xi— i Xi^-i ... Xn+i ì Vi •— o X\ X<i ... Xi—i Xi+i ... Xn+\ ; 



fi .i , ti ■ 



Oi_ 



Vi X\ Xi ... Xi— i Xi+i ... Xn+1 i 



ll m i , 



sicché l'ultima coinciderà colla primitiva se /<; è una delle radici m e del- 

 l'unità, cioè se Sì è ciclica secondo m. Supponendo che sia proprio questo il 

 caso, si hanno le m omografie. 



Sì, SI 2 , Sì 3 , ... , SI™ = identità ... (a 



e le m cremoniane 



Ci, C2, C3, ... , C TO = C (/? 



le quali prese tutte insieme formano un gruppo chiuso H. 

 « In fatti: 



« 1°. se Sì 11 , Sì 1 sono due qualunque fra le («) si ha: 

 Sì* Sì 1 = Sl k + l = Sì r (r <C m, /c + l = r mod. m) ; 

 « 2°. se i2 ft è una qualunque fra le (a) e C; una qualunque fra le 

 (/?) si ha 



Sì 11 Ci = C == Sì k+m ~ l C 



C,G ft = C SI 1 Sì* == C .<2* + * == C ft Ì 



« 3°. se C;,- , Ci sono due qualunque fra le (/?) si ha 

 Ck C« : Cft-i Gi-ì 



