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Mal e malica. — Valori approssimati per l'area di un ellis- 

 soide. Nota di G. Peano, presentata dal Socio Beltrami. 



« Sia E l'area totale dell'ellissoide, in coordinate cartesiane : 



_ _i_ U— i _ i 



a 2 ■ b 2 ^ c 2 ~ 



Il sig. Boussinesq, nel suo Cours d'Analyse imfinitésimale, Paris 1890, 

 tome II, pag. 74*, propone come valori approssimati di E le due quantità 



E' = irr {^-^J 



Egli riconobbe cbe E" è approssimato ora per difetto ed ora per eccesso, ma 

 non diede alcun criterio per riconoscere i limiti dell'errore. 



« Si può dimostrare facilmente che anche E' è approssimato ora per 

 eccesso ed ora per difetto; e che l'errore relativo commesso prendendo E' 

 ovvero E" invece di E può diventare comunque grande. Invero, facendo ten- 

 dere c verso zero, si avrà 



r E ' 2 ( a i b , o\ r E " 32 (a , b . A 



E' 8 E" 128 



Se qui si suppone a = b, si avrà lim — =— <C 1 , e lim— =— ~--<l; 



E y E aùo 



quindi supponendo a sufficientemente prossimo a b, e e sufficientemente pie- 



colo, E' ed E" sono minori di E. Se invece si fa crescere —, il trinomio 



b 



ab E' E" 



-r -j f- 2 può diventare comunque grande ; e quindi i rapporti — ed — 



Od hi ih 



possono superare ogni limite dato. 



n In questa Nota sono contenute alcune formule semplici di approssi- 

 mazione per E, e i limiti degli errori corrispondenti. Pongasi 



(1) x = d sen 0 cos tp = àX. , y = b sen 6 sen xp = bY , s = e cos 6 = ci. 

 Si avrà 



(2) X 2 -f T 2 + Z 2 = 1 , 



e il punto (X, Y, Z), corrispondente al punto y, z) dell'ellissoide, descri- 

 verà una sfera. Pongasi ancora 



(3) da = sen 6 dd dip , 



sicché dea è l'elemento infinitesimo di secondo ordine di questa superfìcie sferica. 

 Si avrà 



(4) E=/j/£ 2 c 2 X 2 + tf 2 a 2 Y 2 -fa 2 £ 2 Z 2 dco, 



