ove l'integrale è esteso a tutta la sfera (2), vale a dire le due integrazioni rispetto 



TI 



a 6 e xp si faranno fra 0 e — , e si moltiplicherà il risultato per 8. Suppo- 



ù 



niamo a~^> b^> c . Allora sarà bc <C ca <^ab ; e sostituendo in (4) al posto 



di ca e ab la quantità minore bc , si avrà 



(5) 



E>47rèc. 



Analogamente, sostituendo 



in (4) ab al posto di bc e 



(6) 



E < An ab . 



Facendo nella (4) c = 0 , 



si ria la formula (evidente) 



(7) 



E>2?r^. 



Quindi, se si prende come 



primo valore approssimato 



(8) 



E x = 4,tt ab , 



si avrà 





(9) 



iE 1 <E<E 1 . 



« Si può, con maggiore approssimazione, prendere la media aritmetica 

 dei due limiti dati dalle (5) e (6), comprendenti E, ossia porre 



(10) E 2 = 2/r {ab -j- bc) = 2/r£ (« + c) 

 Per giudicare l'errore E — E 2 , pongasi 



(11) A = bc , B — ca, G = ab. 

 Si avrà 



E J"f/A 2 X 2 -{- B 2 Y 2 + C 2 Z 2 ^> 

 ^ > E 2 — 2tt(A + C) 



Se qui, ove A << B < C , si pone al posto di B successivamente A e C, 

 si avrà 



JV A 2 (X- -f Y 2 ) + C 2 Z 2 du E Jj/A* X 2 -f C 2 (Y 2 + Z 2 ) dm 

 ( } 2/t(A + C) < E 2 < 2/r(A-f-C) 



e introducendo le variabili 6 e xp, ed eseguita una integrazione 



f 2 t 7 A 2 sen 2 0 + C 2 cos 2 0 sentì d0 < J 



(14) „ 



< — C 2 -f/A 2 cos 2 0 -f- C 2 sen 2 0 sen 6 de , 



C A 



e fatto n . , = A , cos # = # , si avrà : 

 0 — p A 



(15) fV(l— ^) 2 + 4/^ 2 ^<f-< £V(l + '0 2 — 4 ^ 2 ^ 



(16) ^(L^^^l 4 1 _, + <L±|ll areta ^. 



