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Sviluppando in serie : 



(17) 



< 1 + ì t +Th"'-ér7 k '+ih k ' 



Il primo membro, che vale 1 per k = 0 e per li — 1, ed è per gli altri va- 

 lori di k minore dell'unità, diventa minimo per un certo valore di k. Questo 



minimo è maggiore di 7^ , il quale è il minimo della somma dei primi tre 



termini ; onde si avrà 



Ì>1- 



E 



E siccome — è precisamente eguale al primo membro della (17) quando 

 E 2 



b—a, si deduce che l'area dell'ellissoide di rivoluzione schiac- 

 ciato, di semiassi a e c, a^> c , è maggiore di 2zr {ab -f- b 2 ), mane 



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differisce meno di — del suo valore. 

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« Si riconosce parimenti che l'ultimo membro della (17), cresce col ere- 

 scere di k, e il suo massimo valore, per k = 1., è — ; onde 



(19) 0,89E 2 <E<1,57E 2 . 



« Sommando i tre primi termini nelle serie di (17), si avrà a fortiori: 



, nA , , 7 a-h2c . {a—c) 2 2b ^a + c . {a— e) 2 2h 



(20) 4jib h47r^— -— - ■ — <E<4tt£ J — + ^——L — . 



v 3 15 a-\-c ò 15 a-\-c 



« Un valore approssimato di E, semplice ed importante, è 



, n1 > -n a ab -\- ac 4- bc 



(21) E 3 = 4tt ! — -- ' • 



o 



Esso è sempre approssimato per difetto, ossia 



(22) E > E 3 . 



Per dimostrare questa formula mi servirò d'un processo analogo a quello 

 da me seguito altrove per calcolare valori approssimati per la lunghezza del- 

 l'ellisse ( J ). Pongasi : 



U = fb 2 c 2 X 2 -f c 2 a 2 Y 2 -j- a 2 b 2 Z 2 

 c_:;ì V *è=bcX 2 -{-.caY 2 + abZ 2 



W= a 2 (b—cy Y 2 Z 2 4 b 2 (c—a) 2 Z 2 X 2 + c 2 {a—b)-X 2 Y 2 



( ! ) Comptes rendus des séances de l'Académie des sciences, 1889, p. 960. 

 Rendiconti. 1890, Vol. VI, 2° Sem. 42 



