Si avrà 



(24) U = V +UTY 



onde U > V , ed integrando si ha la formula (22). 

 « L'errore R 3 = E — E 3 è dato da 



(25) R 3== J_W_^, 



e siccome U-f-V è compreso fra 2bc e 2ab, e YfWdo) si eseguisce imme- 

 diatamente, si avrà 



(26) Rs > \^ab \y (b - ° y ~ + ¥ {a - ° y ~ + c ^ a ~ * > s ] 



(27) R 3 < ~ [f (b - e) 2 + ¥ {a - cY + c> (a - £) 2 ] • 



Ricorrendo ad alcune diseguaglianze algebriche, dalle (26) e (27) si deduce 

 a fortiori : 



(28) 



E 



« Il rapporto — , che si è visto essere maggiore di 1, diventa massimo 

 E 3 



per c = 0, come si potrebbe dimostrare, sicché si ha 



(29) E 3 <E<|e 3 . 

 Dalla (22) si deducono a fortiori 



(30) E>4 „^±-^ 



ó 



(31) E>4?r (abc) \ 



« Essendo E funzione omogenea di secondo grado in a, b, c, possiamo 

 determinare quella funzione intera di secondo grado in a. b, c che più si 

 approssima ad E, p. e. quando si suppongano infinitesime le differenze a — b 

 ed a — c . Questa funzione intera che si approssima più di ogni altra, quando 

 l'ellissoide ha forma prossima alla sfera, è 



(32) E 4 = 4/r ri + ac + bc + 2_ n Q fl _ + ^ _ ?)2 + ^ _ 



Il primo termine in E 4 è appunto E 3 . Si può pure scrivere : 



(33) E . = 4;r [|2*+|+^ + l5!+|+fl] 



(34) E 4 = in [| f '* + ^ + fe + | (^t-^yi ■ 



