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Un importante complemento ha poi ricevuto questo metodo dalle recenti e 

 fondamentali ricerche di Picard sul processo delle approssimazioni successive 

 Potendosi infatti così dimostrare a priori l'esistenza di una soluzione che sod- 

 disfà alle date condizioni ai limiti, in particolare di quella che chiamerò con 

 Du-Bois Reymond la soluzione principale (Hauptintegral) della equazione 

 aggiunta, ne risulta l'unicità della soluzione regolare cercata. 



« Il metodo stesso si può, almeno in certi casi, estendere ad un numero 

 maggiore di variabili e ad equazioni di ordine superiore. Un primo tentativo 

 in questa via è stato fatto ultimamente da Volterra per certe equazioni del 

 2° ordine a tre variabili ( 2 ). Nella presente Nota io estendo il metodo di 

 Riemann alla equazione dell' n mo ordine a n variabili : 



(1) - 7" - = Mn, 



oX\ 0OO2 ••• vOCyi 



dove M. denota una funzione data delle n variabili indipendenti 

 A problema fondamentale si può qui porre quello di determinare una solu- 

 zione della (1) che soddisfi alle condizioni iniziali : 



u — /1 (x 2 , x s , ... x n ) per x x = a v 



U = f% (Xi , X 3 , ... X n ) » Xì — a z 



U f n [X\ , X2 , ••• Xn— 1) " Xn — d>n ì 



denotando fi una funzione arbitraria delle n — 1 variabili x x x % ... Xi- X Xi +1 ... x n 

 ed essendo a l ,a 2 ..-a n , n costanti. Dimostrata dapprima, col metodo delle 

 approssimazioni successive, l'esistenza della soluzione cercata, applico poi il 

 metodo di Riemann, mediante il quale il valore di u in un punto qualunque 

 (b x b% ... b n ) si può calcolare quando della equazione aggiunta 



— ^ = {—lyMv 



uXi ~òX<i ... ~~òXn 



sia trovata la soluzione principale relativa al detto punto. Similmente, nota 

 la detta soluzione principale, si potrà calcolare il valore di u in (bi b z ... b n ), 

 quando lungo un' ipersuperficie 



(f {Xi X% ... X n ) = 0 



siano dati i valori di u ed, in modo compatibile, quelli delle successive de- 

 rivate fino alle (n — l) me . Per tal modo viene anche dimostrata l'unicità della 

 soluzione, che soddisfa alle date condizioni ai limiti. 



C 1 ) Mémoire sur la théorie des équations aux dérivées partielles et la méthode des 

 approximations] successives. Journal de Mathém. 1890. 



(*) Sur les vibrations des corps élastiques isotropes. Acta Mathematica. Bd. 18, 

 pag. 161. 



Rendiconti. 1895, Voh. IV, 1° Sem. 2 



