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« Un caso particolare notevole, in cui la soluzione principale si può 

 subito determinare è quello in cui M = 1. Allora, posto 



t = i^X\ — &\) (x% — $2) ... {x n — Q>n) ì 



nella trascendente intera 



1- , r=<*> 



3 (t) = 1 + J~ 2\ 3»... r" 

 si ha appunto la soluzione principale relativa al punto (a x a 2 ... a n )- 



§ 1. 



« Per semplicità delle formole, ci limiteremo a sviluppare i calcoli nel 

 caso n = 3, scrivendo l'equazione fondamentale : 



(2) ^ U - Mu. 



v ~ìx ~òy 1>2 



« Interpretando x, y, 2 come coordinate Cartesiane ortogonali, supponiamo 

 che entro il parallelepipedo limitato dai sei piani 



x = ^=a, y = =±=b, ^ = =±=e, 

 la funzione M di x, y, 2 sia finita e continua e si abbia costantemente 



|M|<K, 



essendo K un numero positivo fìsso. Si cerca una soluzione regolare (') u 

 della (2) che soddisfi alle condizioni ai limiti : 



u — A (y, 2) per x — 0 

 u=%{x,2) » y = 0 

 u = f 3 {x,y) » 2 = 0. 



« Le tre funzioni arbitrarie fi , f % , A si suppongono soltanto finite e 

 continue, entro il parallelepipedo indicato insieme colle derivate parziali prime 

 e la derivata seconda mista. Inoltre si deve supporre naturalmente 



A (0,0 = / 2 (CU), f»fo,.0) = f t (a;,oy, A (0, y) = A (y, 0) 



e però 



A (0,0) = A (0,0) = / 3 (o,o). 



« Col metodo delle approssimazioni successive, costruiamo dapprima la 

 soluzione u 0 della equazione 



~ò 3 u 



~òx ~tiy 1)2 



-0, 



(!) Per soluzione regolare intendiamo qui una soluzione che nel campo considerato 

 sia finita e continua insieme alle derivate parziali: 



}« 3» 3» yu yu yu 



