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Se si pone adunque 



paragonando la serie (4) colla serie assolutamente convergente 



£2 £3 £n 



? + 2? + 2 3 . 3 3 + "' + 2 3 . 3 3 ... w 3 + "' ' 

 risulta la verità della nostra asserzione. 



« Un altro caso importante, ove si può dimostrare l'esistenza della so- 

 luzione, è quello in cui le condizioni ai limiti siano invece le seguenti. So- 

 pra un pezzo di superfìcie 2, la cui proiezione sopra ciascuno dei piani coor- 

 dinati ricuopre una sola volta l'area corrispondente, siano dati i valori di u 

 ed in modo compatibile quelli delle derivate prime e seconde. Per ciò ba- 

 sterà dare sopra 2 i valori di 



~òu ~ò 2 u 



u, 



!>x ' ~èx ~òy 



p. e. in funzione di x, y e le altre derivate prime e seconde ne risulteranno 

 determinate. Se ci limitiamo a considerare una regione dello spazio, per la 

 quale ogni parallela ad uno degli assi che la attraversi incontri effettiva- 

 mente 2 in un punto, per un punto qualunque ¥=(x,y,s) di questa regione 

 conducendo i tre piani paralleli ai piani coordinati formeremo un tetraedro T 

 a base curva limitato dai tre piani condotti e da 2. 



« Adoperiamo nuovamente il metodo delle approssimazioni successive, 

 prendendo per u 0 quella soluzione della equazione 



5 * B =0 



~òx ~òy ~òs 



che soddisfa alle condizioni iniziali assegnate. Se costruiamo la serie di funzioni 

 Ui =J^Jm« 0 dx dy ds 



T 



u 2 --jJXìilui dx dy ds 



=jjjM.u n -i dx dy ds 



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