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« Così abbiamo già la forinola domandata; ma si può ulteriormente 

 semplificare il secondo membro, scrivendo: 



( U y) J3_ ~òv lu _ _3_ ~ÒV 1M 

 X = ~Dy Yz 2 lz ~òy 2 ~òy iz 



e analogamente per T, Z. Allora se si osserva che si ha: 



¥-^dy eh = (wy) 0 ( + « (0, I/o , *o) — ^ (0, 2/o,0) — a (0, 0, * 0 ) 



to=0) 



e analogamente per gli altri due integrali, ne risulterà la formola definitiva : 

 (B) u (x 0 , y 0 , So) --= {uv) 0 -h \u (x Q , I/o , 0) + w(^ 0 , 0, *„) + y Q , s 0 ) j— 

 — jw(a\>, 0,0)-t-m(0, y„, 0) + a(0, 0, s 0 ) j — 



2 JJ\iz ly ly iz) y 2 J J \ìx iz iz ix J 



(.00=0) *•!>— »' 



_L [C(ìllìl + ìll^\ dxi y. 



2 JJ Vòx ly ~òy 1%) 



(2=0) 



« Questa formola (B) ci dà appunto il valore di « in P = (x Q y 0 z 0 ) 

 per mezzo dei valori dati di fi, f%, fz- 



« Una conseguenza immediata ed importante della (B) è la seguente. 

 Se la soluzione regolare u si annulla sui piani coordinati è nulla dovunque, 

 perchè il 2° membro della (B) è allora nullo. Ne segue l'importante teorema 

 di unicità: 



« Una soluzione regolare u della equazione 



~ò 3 u 



l>x ly lz 



è perfettamente individuata dai valori che assume sui piani coordinati. 



« È bene applicare la (B) al caso particolare in cui' ù sia la soluzione prin- 

 cipale della equazione — = Mw relativa all'origine ; otteniamo allora 



Ixlylz 



semplicemente 



u [x 0 ,y 0 ,z 0 ) — v (0, 0, 0) , 



formola che stabilisce una sorta di reciprocità fra le soluzioni principali 

 della equazione data e della aggiunta, affatto analoga a quella osservata da 

 Darboux nel caso n = 2 (1. c. pag. 81). 



(!) Con (mw)o indichiamo il valore di uv nell'origine. 



