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siali, dei quali lo stesso Halphen, anche in altri lavori su quest'argomento ('), 

 ha fatto ampiamente uso (ma ai quali noi non ricorreremo). — Sia 



f n) + Ai + + A n _i y + A n y == 0 



un'equazione differenziale lineare (omogenea) di ordine » > 3, nella quale y 

 è la variabile dipendente, e i coefficienti Ai ... . sono funzioni qualunque della 

 variabile indipendente x, che si suppongono appartenere a un determinato campo 

 di razionalità (Rationalitàtsbereich). Indichiamo con y x , y % , .... y n un sistema 

 di integrali (soluzioni) indipendenti dell'equazione proposta (non legati dunque 

 da alcuna relazione lineare a coefficienti costanti), e interpretiamo queste 

 stesse yi come coordinate proiettive omogenee di punti (y) in uno spazio 

 Al variare della x valleranno, in generale, anche le y x , y z ,...y n , e il 

 punto (y) descriverà una certa curva r (appartenente allo spazio S„_i) che 

 Halphen ha chiamata Courbe attachée all'equazione differenziale ( 2 ). Questa 

 curva, per il modo stesso in cui fu definita, non si altera se alla variabile indi- 

 pendente x se ne sostituisce un'altra s, comunque legata con essa; e nemmeno 

 se gli integrali y-, vengon tutti moltiplicati (o divisi) per uno stesso fattore, 

 funzione di detta variabile; essa ha dunque carattere invariantivo rispetto 

 alle trasformazioni : 



s ■ f(x) y =*= (f{x) . v ( 3 ) 

 e si può quindi considerare come attachée a un'intera classe di equazioni 

 differenziali lineari, deducibili l'ima dall'altra con trasformazioni del tipo 

 accennato ( 4 ) ( 5 ). 



« Le ìji non sono però, in generale, funzioni univoche della x; ma, per 

 uno stesso valore di questa, esse potranno assumere più, e fors'anche infiniti 



(!) Ad es. nella Mem.: Sur les invariants des équations différentielles linéaires du 

 4ème ordre ; Acta Math , voi. III. 



( 2 ) Halphen limita bensì questa considerazione ai casi di re = 3 e n = 4 (quindi 

 n — 1 3); ma dice egli stesso che al di là del 4° ordine « si Vimage géométrique fait 

 défaut, Vobjet ne subsiste pas moins ». 



( 3 ) È appunto per avere T invariantività rispetto a queste trasformazioni, che con- 

 viene interpretare le y% come coordinate omogenee. 



(*) Se si trattasse però di equazioni differenziali di 2° ordine (n = 2), sarebbe facile 

 verificare che con trasformazioni di questo tipo si pub passare da una qualunque di esse 

 a ogni altra. Volendo quindi studiare proprietà invariantive di queste equazioni rispetto 

 a certe trasformazioni, conviene limitare maggiormente la cerchia di queste ultime (fissan- 

 dosi ad es., nel caso dei coefficienti razionali, sulle sole sostituzioni lineari di %). 



( 5 ) È facile verificare che le coordinate di un iperpiano (S n _ 2 ) variabile osculatore 

 alla curva T soddisfanno all' 'equazione differenziale aggiunta di Lagrange : 

 5(W — (A t y)c»-i) + (A, ?/)c«- 2 > — . . . . + (— 1)™ A„ y = 0 ; 

 mentre le coordinate di una tangente, di un piano, o in generale di un osculatore 

 — 3) soddisfanno rispettivamente alle diverse equazioni differenziali associate di 

 Forsyth (Phil. Trans.; voi. CLXXIX; cfr. anche: Craig, A treatise on linear differential 

 équations; New-York, 1889). 



