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valori, tutti esprimibili però come combinazioni lineari dei loro valori primi- 

 tivi. Più chiara riesce la cosa se immaginiamo distesa la variabile x su di 

 una superficie (piano J superficie di Mentami, ) sulla quale risultino fun- 

 zioni univoche i singoli coefficienti Ai , ... ; allora ad ogni cammino chiuso 

 sopra questa superficie corrisponderà una certa sostituzione lineare a coefficienti 

 costanti yi a) = 2 a in y H , per modo che, quando x descrive questo cammino 



ritornando al punto di partenza, le y t , anziché riprodursi tali e quali, da- 

 ranno luogo alle yi (ì) così definite (ma che potrebbero, in particolare, coin- 

 cidere con esse). All'insieme di tutti i cammini chiusi che su quella super- 

 ficie si possono tracciare, corrisponderà un certo gruppo di sostituzioni lineari 

 delle iji ; gruppo che potrà essere finito o infinito, ma sarà certo discontinuo, 

 e risulterà dalle possibili combinazioni di un certo numero di operazioni fon- 

 damentali (operazioni generatrici). A questo gruppo Hermite ha dato il nome 

 di gruppo monodromico dell'equazione differenziale ( J ). — Ma, interpretata 

 geometricamente, una sostituzione lineare delle y t dà luogo a una collineazione 

 nello spazio S n _! ; e siccome qui si tratta di sostituzioni che mutano ogni 

 gruppo di valori delle funzioni y^x) in un punto dato x in un altro gruppo 

 di valori che le stesse funzioni possono assumere in questo punto ( 2 ), avremo 

 a che fare in sostanza con un gruppo discontinuo di collimazioni dello spazio 

 S n _ x , che trasformano in sè stessa la curva r attachée all'equazione 

 differenziale proposta ( 3 ). 



(!) Dalla considerazione di questo gruppo Eiemann avrebbe voluto appunto prender 

 le mosse, per costruire una teoria generale delle equazioni differenziali lineari. E questa 

 sembra che dovesse essere la [seconda parte del suo Programma colossale nella teoria 

 delle funzioni, mirando egli forse a dare nella teoria delle equazioni differenziali lineari 

 una sorella alla teoria delle funzioni Abeliane. Ma di lui non abbiamo, in quella teoria, 

 che la Memoria: Beitràge zur Theorie der durch die Gauss 'sche Reihe F{a,§,y, x ) dar- 

 stellbaren Functionen (Ges. Werke, 2 a ed., IV), e il frammento (ibid. XXI) : Zwei allge- 



meine Lehrsàtze Anche qui la difficoltà maggiore sta nei teoremi di esistenza. Nel 



solo caso più semplice della funzione iper -geometrica (considerata appunto da Riemann) la 

 dimostrazione relativa fu data recentemente dallo Schilling (Math. Ann., voi. XLIV; e altro 

 lavoro che escirà fra breve). 



( 2 ) Più brevemente, possiamo dire che ogni ramo {Zweig) di una funzione y{x) 

 vien mutato in un altro ramo di questa stessa funzione. 



( 3 ) Da ciò la ragione del nome di projectiv-periodische Curven (curve projettivamente 

 periodiche f) che il Klein proponeva di dare a queste curve. Una specie di periodicità si 

 presenta infatti corrispondentemente ai cammini chiusi della % testé considerati. Così p, e. la 

 sinussoide (rappresentata sotto la forma y = ar sen e) sarebbe una curva additivamente 

 periodica; e in modo analogo si potrebbero anche immaginare curve moltiplicativamente 

 periodiche. — Ricerche su queste curve projettivamente periodiche non ne furono fatte 

 ancora; ma ad esse si potrebbero applicare ricerche analitiche già condotte a buon punto; 

 p. e. quelle sugli integrali delle soluzioni y (fyidee), che corrisponderebbero a ciò che 

 gli integrali Abeliani sono per le curve algebriche. Già Abel aveva considerati questi inte- 

 grali (Oeuvr., t. II, p. 54-65), e aveva dato per essi un teorema analogo a quello sullo 



