« La considerazione di questo gruppo di trasformazioni projettive è 

 appunto fondamentale per il nuovo campo di ricerche del quale mi sono pro- 

 posto di dare un saggio. Lo studio geometrico di queste curve T non può 

 non esser fecondo di risultati per la teoria delle equazioni differenziali lineari. 



« 2. La questione particolare della quale vogliamo qui occuparci fu 

 posta per la prima volta dal sig. Fuchs, che in una breve Nota inserta nei 

 Beri. Ber. (8 giugno 1892), e più diffusamente nella Memoria: Ueber li- 

 neare homogene Differentialgleichungen (Acta Math., voi. I) già la 



risolse per il caso delle equazioni differenziali di 3° ordine. E si tratta pre- 

 cisamente di indagare, per quanto possibile, la natura degli integrali di una 

 data equazione differenziale lineare, nell'ipotesi che un sistema di soluzioni 

 indipendenti di detta equazione soddisfacciano a una o più date equazioni 

 algebriche (omogenee, a coefficienti costanti, e quindi di grado superiore al 

 primo). Questo caso comprende naturalmente quello in cui gli integrali in 

 discorso sono essi stessi funzioni algebriche della variabile indipendente x. 

 Geometricamente, ciò vuol dire che la curva r dianzi considerata si suppone 

 a priori contenuta in una certa varietà algebrica dello spazio S„-i ( l ) ; o, in 

 particolare, si suppone essa stessa una curva algebrica, e ciò nel caso che le 

 equazioni algebriche date siano tali da definire una curva nello spazio S„_i 

 delle coordinate omogenee y t ( 2 ). Potrebbe bensì r essere soltanto una parte 



scambio di argomenti e parametri negli integrali Abeliani di 3 a specie. Jacobi (Journ. 

 de Creile, t. 32) diede alla dimostrazione di Abel forma più cbiara, e ulteriori migliora- 

 menti vi introdusse più tardi Frobenius (ibid. t. LXXVIII), mentre poco prima Fuchs (ibid. 

 t. LXXVI) aveva proseguite le ricerche su quegli stessi integrali (giovandosi dei nuovi risul- 

 tati che da Abel in poi si erano ottenuti nella teoria delle funzioni). E lo stesso Fuchs 

 si occupò anche (ibid. t. LXXXIX, e Beri Ber., die. 1892) delle funzioni in certo qual modo 

 inverse di questi integrali (e definite precisamente in modo analogo alle funzioni Abeliane). 



(!) Varietà che dovrà essere trasformata in sè stessa da tutte le collineazioni conte- 

 nate nel gruppo monodromico dell'equazione differenziale proposta, perchè appunto le yi, 

 pur sostituendosi linearmente in modo corrispondente, devono sempre soddisfare alle equa- 

 zioni algebriche date. La questione si collega quindi intimamente collo studio delle Varietà 

 algebriche di uno spazio qualunque, che ammettono un dato gruppo di trasformazioni 

 projettive. — Il gruppo di tutte le trasformazioni projettive (o sostituzioni lineari) che 

 mutano in sè stessa la varietà algebrica in discorso dovrà contenere come sottogruppo il 

 Gruppo di razionalità (Rationalitàtsgruppe, secondo F. Klein) considerato dai sigg. Picard 

 e Vessiot (Ann. de Toulouse, 1887; Ann. de l'Ec. Norm, 1892), oppure coinciderà addi- 

 rittura con esso. 



( 2 ) Non è però esatto, come più o meno tacitamente supposero i diversi Analisti che 

 di tale questione si occuparono, che questo caso si presenti sempre e solo quando le equa- 

 zioni date sieno in numero di n — 2 (n essendo l'ordine dell'equazione differenziale). In- 

 fatti n — 2 equazioni algebriche (distinte) fra le coordinate di un punto variabile in uno 

 spazio S„_, potrebbero benissimo non definire una curva, ma solo una varietà due o più 

 volte infinita, mentre d'altra parte vi sono anche curve dello spazio S„_ t che non si pos- 

 sono rappresentare col detto numero di equazioni (ma solo con un numero maggiore). 



